無名氏 發問時間: 社會與文化語言 · 1 0 年前

Zenos' Paradox的意思是什麼?

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  • 海狸
    Lv 4
    1 0 年前
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    季諾的詭辨(Zeno's Paradox)

    大約出生於西元前 480 年的希臘哲學家季諾(Zeno)曾經提出幾則似是而非的辨證,其中一個是著名的「阿奇里斯和陸龜賽跑」(Achilles and the tortoise)。季諾證明行動矯捷的阿奇里斯永遠趕不上一隻搶先起步的笨重陸龜。因為如下圖,假設開始時阿奇里斯的位置在 A0,陸龜則在前面的 T0 處。等阿奇里斯趕到 T0 處時,陸龜雖然跑得慢,卻並非原地踏步,所以這時已經跑到前面的 T1 處了;同樣的道理,當阿奇里斯趕到 T1 處時,陸龜又已經跑到前頭的 T2 處了。如此繼續下去,雖然阿奇里斯愈趕愈近,但總是落後一點點,永遠無法追上陸龜。

    大約出生於西元前 480 年的希臘哲學家季諾(Zeno)曾經提出幾則似是而非的辨證,其中一個是著名的「阿奇里斯和陸龜賽跑」(Achilles and the tortoise)。季諾證明行動矯捷的阿奇里斯永遠趕不上一隻搶先起步的笨重陸龜。因為如下圖,假設開始時阿奇里斯的位置在 A0,陸龜則在前面的 T0 處。等阿奇里斯趕到 T0 處時,陸龜雖然跑得慢,卻並非原地踏步,所以這時已經跑到前面的 T1 處了;同樣的道理,當阿奇里斯趕到 T1 處時,陸龜又已經跑到前頭的 T2 處了。如此繼續下去,雖然阿奇里斯愈趕愈近,但總是落後一點點,永遠無法追上陸龜。

     

    每個人都知道,在現實世界中阿奇里斯在一小段距離後就能超過陸龜;但是上述季諾的推演似乎也無懈可擊,為什麼會出現如此矛盾的結果呢?“無限”就是癥結所在。我們可以把實際情況簡化如下:「假設阿奇里斯每秒只能跑 1 公尺,陸龜每秒可以跑 1/2 公尺。比賽開始時,陸龜的起點在阿奇里斯前面 1/2 公尺處。」

    我們知道經過 1 秒後,陸龜跑了 1/2 公尺,阿奇里斯跑了 1 公尺,這時阿奇里斯就追上陸龜了。

    照季諾的說法,阿奇里斯要先花 1/2 秒跑到陸龜一開始的位置 ---- 1/2 公尺處,但這時陸龜也向前跑了 1/4 公尺,所以阿奇里斯又得花 1/4 秒去跑到新位置,同時陸龜也又向前跑了 1/8 公尺。以此類推,阿奇里斯得向前跑 1/2 + 1/4 + 1/8 + … 公尺去追陸龜。

    綜合以上兩種說法我們不難發現: 1/2 + 1/4 + 1/8 + … 公尺這無限多小段距離的總和其實是一段有限的距離 ---- 1 公尺;同樣地,阿奇里斯追陸龜所花的時間 1/2 + 1/4 + 1/8 + … 秒,這無限多段時間的總和也只是短短的 1 秒鐘罷了。

    等於 1,那麼現在考慮下面這個問題,答案又會是什麼呢?

    1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …… = ?

    “無窮大”、“無窮小”所造成的困擾,許多年之後,經過數學家高斯(Gauss)及魏爾斯查士(Karl Weirstrass)等人的努力,引入極限的觀念才得以解決。

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