幾何的證明題

Question

ABCD為一圓內接四邊形，且點E,F,G分別在線段AB,AC,AD上使得AEFG為一平行四邊形，

試證：AC*AF=AB*AE + AD*AG(指的是線段長)

Answer 1

最佳解答

以下我用*代表長度相乘 。代表向量內積

首先我要證 AFG跟BDC是相似三角形

1)角FAG=角DBC 因為對應到同一段弧

2)角AFG=角FAE=角BDC 因為AEFG平行四邊形，角FAE跟角BDC對應同一段弧

=>AFC與BDC相似

長度AE:AG=FG:AG=DC:BC

=>AE*BC=AG*DC.....................................(A)

再來回到正題

AC*AF=AC。AF=1/2(AB+BC+AD+DC)。(AE+AG)

=1/2(AB。AE + BC。AE + AD。AE + DC。AE +

AB。AG + BC。AG + AD。AG + DC。AG )

=1/2(AB*AE + AD*AG + AC。AE + AC。AG + BC。AE + DC。AG )

=1/2(AB*AE + AD*AG + AC。AF + BC。AE + DC。AG )

接下來只要證明BC。AE + DC。AG=0就解決了

BC。AE + DC。AG

=AE*BC*(-cosABC) + AG*DC*(-cosADC) 而因為ABCD為圓內接四邊形，所以對角互補

=AE*BC*(-cosABC) + AG*DC*(cosABC) by (A)

=0

=>AC*AF=1/2(AB*AE + AD*AG + AC。AF)

=>AC*AF=AB*AE + AD*AG

by Silvermare

( QQ. 我就差三角形相似沒看到>.<)