Anthony 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

幾何的證明題

ABCD為一圓內接四邊形,且點E,F,G分別在線段AB,AC,AD上使得AEFG為一平行四邊形,

試證:AC*AF=AB*AE + AD*AG(指的是線段長)

1 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    以下我用*代表長度相乘 。代表向量內積

    首先我要證 AFG跟BDC是相似三角形

    1)角FAG=角DBC 因為對應到同一段弧

    2)角AFG=角FAE=角BDC 因為AEFG平行四邊形,角FAE跟角BDC對應同一段弧

    =>AFC與BDC相似

    長度AE:AG=FG:AG=DC:BC

    =>AE*BC=AG*DC.....................................(A)

    再來回到正題

    AC*AF=AC。AF=1/2(AB+BC+AD+DC)。(AE+AG)

    =1/2(AB。AE + BC。AE + AD。AE + DC。AE +

    AB。AG + BC。AG + AD。AG + DC。AG )

    =1/2(AB*AE + AD*AG + AC。AE + AC。AG + BC。AE + DC。AG )

    =1/2(AB*AE + AD*AG + AC。AF + BC。AE + DC。AG )

    接下來只要證明BC。AE + DC。AG=0就解決了

    BC。AE + DC。AG

    =AE*BC*(-cosABC) + AG*DC*(-cosADC) 而因為ABCD為圓內接四邊形,所以對角互補

    =AE*BC*(-cosABC) + AG*DC*(cosABC) by (A)

    =0

    =>AC*AF=1/2(AB*AE + AD*AG + AC。AF)

    =>AC*AF=AB*AE + AD*AG

    by Silvermare

    ( QQ. 我就差三角形相似沒看到>.<)

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