微積分極限證明

Question

1.suppose that f(x+y)=f(x)f(y) for all x and y, show that if f'(0)

exists then f'(a) exists and f'(a)=f(a)f'(b)

2.利用epslion-delta <極限定義>證明lim sin(1/x)不存在

x->0

3.

定理:若已知lim f(x)=k 而數列{An}為domf-{c}上極限為c之數列

(即lim An = c) 則lim f(An)=k

n->無窮 n->無窮

利用上述定理證明Dirichlet不存在

三題都會的...超強...

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第三題不用理他

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第一題已經ok了,剩下第二題喔^_^

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我知道第二題可以這樣做-.-

Answer 1

最佳解答

f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) for all x . y

=> f ( y ) = f ( 0 ) f ( y ) => f ( 0 ) = 1

lim [ f ( h ) - f ( 0 ) ] / h = f ' ( 0 ) exist

h->0

lim [ f ( a + h ) - f ( a ) ] / h = lim f ( a ) [ f ( h ) - 1 ] / h

h->0

= lim f ( a ) [ f ( h ) - f ( 0 ) ] / h = f ( a ) * f ' ( 0 )

2. let { x_n } = 1 / [ 2nπ + ( π / 2 ) ]

Given epsion = 1 / 2

for any delta > 0 , there exists n s,t | x - 0 | < delta

but | sin ( 1 / x ) | = 1 > 1 / 2 = epsilon

2007-11-14 10:13:44 補充：

修正:

for any delta > 0 , there exists n s,t | x_n - 0 | < delta

but | sin ( 1 / x_n ) | = 1 > 1 / 2 = epsilon , for all n

參考資料： myself

Answer 2

(2) We can use the Heine-Borel theorem to prove as follows:

取一表達式 x = 1/(nπ + π/2), 其中 n 為任何整數, 如此當 x → 0 時, n → ∞.

即 lim (x→ 0) sin (1/x) 相當於 lim (n→ ∞) sin (nπ + π/2) = 1

另一方面, 亦可取表達式 x = 1/nπ, 其中 n 為任何整數, 如此當 x → 0 時, n → ∞.

即 lim (x→ 0) sin (1/x) 相當於 lim (n→ ∞) sin (nπ) = 0

換言之, lim (x→ 0) sin (1/x) 可以等於 1 又可以等於 0, 即違反了極限的單一性 (Uniqueness of limit)

故 lim (x→ 0) sin (1/x) 不存在.

參考資料： My Maths knowledge

Answer 3

第一題的f'(b)？b？題目是怎麼定義的？