立軒 發問時間: 教育與參考考試 · 1 0 年前

高中數學數列與級數

數列與級數求範圍那種題目,我的大於和小於常常用錯,我用幾個題目來說明。

1.若無窮數列< (2x/3x+1)^n >為收斂,則x之範圍為?

公比=2x/3x+1

我知道幾個算法,但是好像有時候會算錯,是不是看題形而用呢?

(1)用│2x/3x+1│<1 和 2x/3x+1= 0帶出答案

這ㄍ公式算到中間要平方,是要讓他變正數嗎? 還有算到後面會變成 5x^2+6x+1> 0 十字交成變成 (x+1)(5x+1) > 0

答案出來是x>-1/5 或 x<-1 我想知道的是怎麼辦定大於或小於

(2)用 -1< 2x/3x+1 ≦1 帶出答案

這個式子我是用-1< 2x/3x+1和2x/3x+1 ≦1交叉相成把他分成2ㄍ公式,如果我的想法沒錯,是不是這ㄍ方法比較好用,而且還可以解這種相關的分式題目

希望能幫我解釋清楚一點,謝謝

已更新項目:

上面顯示的&lE是小於等於 因為顯示不出來

2 個已更新項目:

那Σ(2x/x-1)^n <===(題目ㄉΣ下面是n=1 上面是趨近於無限大)

我的算式是,-1< 2x/x-1 < 1 => -x+1 < 2x < x-1

1<3x 和 x<-1 1/3 < x < -1 這是我ㄉ答案

但是正確答案是

-1 < x < 1/3 是我算錯嗎?還是有需要變號? X-1因該不用變吧..

3 個已更新項目:

找到我ㄉ問題ㄌ是下面這段

條件 x>-1/3 且 x>-1/5 且'' x>= -1'' 簡化成單一條件 x > -1/5.

因此, 使 [2x/(3x+1)]^n 收斂的 x 範圍是 x > -1/5 或 ''x>= -1''.

x>= -1 為何會變成 x>= -1 條件 x>-1/3 又是啥

4 個已更新項目:

能告訴我我的問題出在哪裡也就是上面ㄉ那個補充,最佳解答我就給他

2 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    首先, 避免弄錯的一個要訣就是養成 "寫清楚" 的好習慣!

    (2x/3x+1)^n 是 [(2x)/(3x)+1]^n? [(2x)/(3x+1)]^n? 或 [(2x/3)x+1]^n?

    其次, 基本觀念要抓住!

    r^n 甚麼時候會收斂? 顯然是 -1< r =< 1, 因 (-1)^n 是震盪的,

    而 1^n 恆為 1.

    所以, 若問 [(2x)/(3x+1)]^n 何時會收斂? 那就是

    -1 < 2x/(3x+1) =< 1

    解不等式, 最好由基礎的東西去想比較不會弄錯!

    因 3x+1 在分母, 所以不能是 0. 於是, 要分 3x+1<0 與 >0 兩情況.

    當 3x+1<0 時, 即 x< -1/3. 此時

    -1 < 2x/(3x+1) = <1   <==>   -(3x+1) > 2x >= 3x+1

       <==> -1 > 5x 且 -x >=1 <==> x<-1/5 且 x =< -1

    加上條件 x < -1/3, 這部分的 x 範圍是 x =< -1.

    當 3x+1 > 0, 即 x> -1/3 時,

    -1 < 2x/(3x+1) = <1   <==>   -(3x+1) < 2x =< 3x+1

       <==> -1 < 5x 且 -x =< 1 <==> x > -1/5 且 x >= -1

    條件 x>-1/3 且 x>-1/5 且 x>= -1 簡化成單一條件 x > -1/5.

    因此, 使 [2x/(3x+1)]^n 收斂的 x 範圍是 x > -1/5 或 x =< -1.

    注意 x=-1 時 2x/(3x+1) = 1. 因此原數列當 x=-1 時是收斂的.

    若解答沒把 x=-1 這點列進去, 那是解答錯!

  •  x    2x/(3x+1)

    =====  =====

    -10   0.689655172

    -2    0.8

    -1.001  0.999500749

    -1    1

    -0.2   -1

    -0.1999 -0.998750937

    -0.1   -0.285714286

    0    0

    1    0.5

    2    0.571428571

    5    0.625

    10   0.64516129

    100   0.664451827

還有問題?馬上發問,尋求解答。