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匿名使用者 發問時間: 教育與參考考試 · 1 0 年前

微分證明題有點急請幫幫忙

試證:

[f1(x)*f2(x)*f3(x)*....fn(x)]'=f1'(x)f2(x)...fn(x)+f1(x)f2'(x)...fn(x)+...+f1(x)f2(x)...fn'(x)

提示:利用數學歸納法

1 個解答

評分
  • tom
    Lv 6
    1 0 年前
    最佳解答

    試證:[f1 (x).f2 (x).f3 (x).….fn(x)]'

    =f'1 (x)f2 (x)…fn(x) +f1 (x)f'2 (x)…fn(x) +…+f1 (x)f2 (x)…f'n(x)

    證明:

    1. 當n= 2時,左式=[f1 (x).f2 (x)]' =f'1 (x)f2 (x)+f1 (x)f'2 (x) =右式

    2. 設當n=k時原式成立,即設

    [f1 (x).f2 (x).f3 (x).….fk (x)]'

    =f'1 (x)f2 (x)…fk(x) +f1 (x)f'2 (x)…fk(x) +…+f1 (x)f2 (x)…f'k (x)

    則當n=k+1時,

    左式=[f1 (x).f2 (x).f3 (x).….fk (x).fk+ 1 (x)]'

    =[f1 (x)f2 (x)…fk (x)]'.fk+ 1 (x)+[f1 (x)f2 (x)…fk (x)].f'k+ 1 (x)

    =[f'1 (x)f2 (x)…fk(x) +…+f1 (x)f2 (x)…f'k (x) ].fk+ 1 (x)

    +[f1 (x)f2 (x)…fk (x)].f'k+ 1 (x)

    =f'1 (x)f2 (x)…fk(x)fk+ 1 (x)+f1 (x)f'2 (x)…fk(x)fk+ 1 (x)

    +…+f1 (x)f2 (x)…f'k (x)fk+ 1 (x) +f1 (x)f2 (x)…fk (x)f'k+ 1 (x)

    =右式

    原式也成立

    所以由數學歸納法知

    [f1 (x).f2 (x).f3 (x).….fn(x)]'

    =f'1 (x)f2 (x)…fn(x) +f1 (x)f'2 (x)…fn(x) +…+f1 (x)f2 (x)…f'n(x)

    《 有問題再提出 我會在意見欄回答》

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