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小伊 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

急~高等微積分

To numerically integerate an imporoper integral ∫1~∞ f(x)dx,we must

apporximate it by the truncated integral ∫1~r f(x)dx. then we can use

numerical methods on ∫1~r f(x)dx.

b)since the choice of r that satisfies the tolerance of part a) is quite large,

we must see if there is another way to deal with the integral before

truncation.Make the change of variable x=t^p transforming the integral

into a form ∫1~∞g(t)dt. choose p so that

∫10~∞ [g(t)]dt小於等於10^-6

a)∫1~∞ cosx/(1+x^2) dx

How large must we choose r so that the error

[∫1~∞ cosx/(1+x^2) dx -∫1~r cosx/(1+x^2) dx]小於等於10^-6

[ ]是絕對值ㄉ意思

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1 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    令x= tp => dx = ptp-1dt , 代入原積分式,得

    ∫1∞ cosx/(1+x2) dx = ∫1∞ ptp-1costp/(1+t2p) dt

    欲使 |∫10∞ ptp-1costp/(1+t2p) dt | < 10-6

    取 p= 6即可, 因

    |∫10∞ ptp-1costp/(1+t2p) dt | < ∫10∞ ptp-1/(1+t2p) dt (同除以 t2p )

    = ∫10∞ pt-p-1/(1+t-2p) dt

    < ∫10∞ pt-p-1dt = - t-p 代 t=10~∞ = 10-p

    (還原至原積分 p=6 )

    ∫10∞ ptp-1costp/(1+t2p) dt =∫10∞ 6t6-1cost6/(1+t12) dt

    令x=t6 ,得

    ∫(x=101/6~∞) cosx/(1+x2) dx

    故求積分∫1r cosx/(1+x2) dx , r=101/6, 即可使誤差< 10-6

    Ans: r=101/6

    參考資料: me
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