貍貓 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

最大最小值

令a,b,c為實數 且已知 a^2+b^2+c^2=3

求a^3+b^3+c^3-3abc之最大值與最小值

已更新項目:

(a, b, c)=(-1/√3, 2/√3, 2/√3)

是唯一的最大值解嗎?

1 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    設 ab+bc+ca=x

    1. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=3+2x

    =>x>=-3/2, a+b+c=√(3+2x)

    2. a2+b2+c2-(ab+bc+ca)=1/2 [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]>=0

    => 3-x>=0 => x<=3

    故-3/2<=x<=3

    3. a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=√(3+2x) * (3-x)

    4. 探討 f(x)=√(3+2x) * (3-x), -3/2<=x<=3即可得解

    f'(x)=(3-x)/√(3+2x) - √(3+2x)

    = -3x/√(3+2x)

    =>x>0時 f'(x)<0=> f(x)遞減, x<0時f(x)遞增

    =>x=0時 f(x)為最大值=f(0)=3√3

    5. a3+b3+c3-3abc最大值=3√3, 最小值=-3√3

    註:選擇(a, b, c)=(-1/√3, 2/√3, 2/√3)時可得最大值, 全部變號可得最小值

    2007-12-26 16:25:51 補充:

    有無限多解

    (a, b, c)=(√3, 0, 0)或(-1/√3, 2/√3, 2/√3)任意排列均為解

    還有很多很多解

    參考資料: me
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