請問數學的e是指什麼意思呢? 為什麼有這個數字呢?

數學裡面的 ln 指的是以e=2.7182818284590452

這數字到底怎麼算出來的? 有什麼意義嗎!?

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請用最簡單的方式告訴我 e是什麼東西 有什麼意義嗎?

例如:直徑x圓周率 會等於圓周長

那 e 到底是做什麼用的呢?

3 個解答

評分
  • 榮哲
    Lv 5
    1 0 年前
    最佳解答

    e,作為數學常數,是自然對數函數(Natural Logarithmic Functions)的底數。有時稱它為歐拉數(Euler number),以瑞士數學家歐拉命名;也有個較鮮見的名字納皮爾常數,以紀念蘇格蘭數學家約翰•納皮爾引進對數。它的數值約是(小數點後10位):

    e ≈ 2.7182818284

    就像圓周率π和虛數單位i,e是數學中最重要的常數之一。

    性質

    很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數ex重要在它是唯一的函數與其導數相等(乘以常數,最一般的函數形式為kex,k為任意常數)。

    e是無理數和超越數(見林德曼—魏爾施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass))。這是第一個獲證為超越數,而非故意構造的(比較劉維爾數);由夏爾•埃爾米特(Charles Hermite)於1873年證明。有猜想它為正規數。它出現在數學中一條很重要的等式,稱為歐拉公式

    當x = π的特例是歐拉恒等式

    這式被理查•費曼稱為“歐拉的寶石”。

    e的無窮連分數展開式有個有趣的模式 。

    無理數證明

    證明e是無理數可以用反證法。假設e是有理數,則可以表示成a / b,其中a,b為正整數。以e的無窮級數展開式可以得出矛盾。

    考慮數位

    以下將推導出x是小於1的正整數;由於不存在這樣的正整數,得出矛盾,所以得證e是無理數。

    歷史

    第一次提到常數e,是約翰•納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數,只有由它為底計算出的一張自然對數列表,通常認為是由威廉•奧特雷德(William Oughtred)製作。第一次把e看為常數的是雅各•伯努利(Jacob Bernoulli) 。

    已知的第一次用到常數e,是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信,以b表示。1727年歐拉開始用e來表示這常數;而e第一次在出版物用到,是1736年歐拉的《力學》(Mechanica)。雖然往後年日有研究者用字母c表示,但e較常用,終於成為標準。

    用e表示的確實原因不明,但可能因為e是“指數”(exponential)一字的首字母。另一看法則稱a,b,c和d有其他經常用途,而e是第一個可用字母。不過,歐拉選這個字母的原因,不太可能是因為這是他自己名字Euler的首字母,因為他是個很謙虛的人,總是恰當地肯定他人的工作。

    e在數學外的用途

    •在Google2004年的首次公開募股,集資額不是通常的整頭數,而是$2,718,281,828,這當然是取最接近整數的e十億美元。(順便一提,Google2005年的一次公開募股中,集資額是$14,159,265,與圓周率π有關)

    •Google也是首先在矽谷心臟地帶,接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神秘廣告版的幕後黑手,它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com(在e的連續數字中第一個發現的十位質數.com)。解決了這問題(第一個e中的十位質數是7427466391,出奇地到很後才出現,由第100個數字開始),進入網站後還有個更難的題目要解決,最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束,上述網站都已關閉。

    •著名電腦科學家高德納的軟體METAFONT的版本號碼趨向e(就是說版本號碼是2,2.7,2.71,2.718等)。

  • 1 0 年前

    有人類之前宇宙就一直存在,之後人類用自己的眼光試圖瞭解宇宙

    ,並一直創造定理定律來解釋及圓謊,例如以十進位當基礎去衡量宇宙,就會跑出圓周律,自然對數(e)等等無理數出來,所謂無理數如e=2.71828....後面小數到目前為止還沒人能說出正確的數字

    也許人類當出以八進位當基礎,就不會有圓周率或自然對數,但也可能產生另一些無理數,那宇宙可不管你這些,是你要用十進位或八進位來恆量我的

    原子的半衰期n,它是以幾何級數衰變...有(1+1/n)的n次方公式,衰變到一點點時還可再從一點點中切成n等份,理論上是無窮盡的,但換個角度它是一定數的

    即1+ 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...... +1/n! + ......會驅近於一個定數,這個數就是e

    譬如我有一段1公尺長的繩子,每天給你1/n,...我繩子剩下0.0001公尺的時後,還可分1/n給你,理論上是沒完沒了,給你的繩子會趨近於1公尺...

    e就是這樣發現的,...現在越來越多e在自然界出現,例如嬰鵡螺,它的紋路是依著e數字向中心靠朧...

    e是一個漂亮完美的無窮數,也許是宇宙的軌跡吧!

    (註:我比較喜歡用佛學的角度去探索宇宙,例如十進位,六十進位是人類的<法>,但宇宙並不依,...即所謂的.<法>.<非法>...事實上宇宙有無窮盡的法因自行造作而有,故曰...<非非法>)

    拍謝,面對皓翰宇宙應該謙虛才是,屁了一堆沒營養...晚安~晚安~

    ,都會變得很有規則。

    e的定義:

    e=lim(n->oo)(1+ 1/n)^n=lim(t->0)(1+ t)^(1/t)............不知道看不看得懂?

    利用這個定義加上二項式定理可以得到:

    e=1+ 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...... +1/n! + ......

  • (1) ln(k) 是 f(x)=1/x 曲線下, x 軸之上, 從 x=1 到 x=k 這範圍的面積.

      而 e 使 ln(e) = 1, 就像常用對數 log(10)=1.

    (2) 考慮複利計算本利和時, 若一年複利 k 次, 在年利率 r 之下一

      年的本利和 = 本金 × (1+r/k)^k. 當 k 很大, 例如按日複利計算時,

      本利和 = 本金 × e^r.

    e 還有多少應用, 在下才疏學淺不夠清楚, 你不妨去找一本書, 叫

    "毛起來說 e", 應該能讓你多知道一些有趣的東西.

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