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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

一題不解的數學問題

(-1)^1=(-1)^(2/2)

=>[(-1)^2]^(1/2)=1 or [(-1)^(1/2)]^2=-1

請問哪一個步驟錯了

[請不要以 (a^n ,a>0時才能用指數率) 的觀點回答,根據指數率的定義並沒有規定 a<0 不成立,例: (-1)^(1/2)= i ]

若有錯請指教

謝謝

3 個解答

評分
  • 匿名使用者
    1 0 年前
    最佳解答

    (1)

    這個 “問題” 是因為中小學的數學中, 討論任何一個固定主題時,

    其所用的符號(或記號)(notations or symbols)均為

    “單一的數值(single-valued)”,不能為 “雙值( two-valued)”

    或 “多值(multiple -valued)” ,在這種狀況下才會發生你所認為

    的 “矛盾現象(contradictions)” .

    (2)

    首先, 一個x的n次方程式(若二重根算兩次三重根算三次依此類

    推… ),恰有n個根,

    因此x的2次方程式x^2 = -1 (也就是x^2 +1=0)的根(解或零點)

    恰有2個根,其中一個叫 “i” 的話, 那麼另外一個呢?

    當然就是 “-i”了, 這是因為i^2 = -1 的話,

    那麼 (-i) ^2 =i^2 = -1, 因此另一根當然為它的共軛複數 –i了.

    實際上, 若i^2 = -1 的話,

    展開(x-i)(x+i) =x^2 + ix –ix + i^2= x^2 +1, 因此

    x^2 = -1<=> x^2 +1=0<=> (x-i)(x+i)=0<=>x=i or x=-i

    (3)

    例如:

    (-1)^(1/2) 一般 “廣義定義” 為x^2 = -1 的根

    因此, 這個符號 “(-1)^(1/2)”或 這個符號“根號(-1)”

    可代表 “i或 –i”兩個數值-----此時它定義為

    “雙值( two-valued)”的符號.

    然而, 目前國內高中的教科書均為了顧及高中生的方便定義它

    為“單一的數值(single-valued)”的符號且符合 i^2 = -1,

    也就是代表 “唯一的一個數值”, 不是“雙值( two-valued)”的

    符號. 通常就隨便說 “i= 根號(-1)”, 而不去追根究底了.

    (4)

    同理, 這個符號 “(-1)^(1/3)”或 這個符號“ (-1)的三次方根” 可代

    表 “-1或 2分之負1加根3或2分之負1減根3”三個數值-----此時它

    定義為“三值”的符號.

    , 也就是x^3=-1的三個根都可以代表這個符號“(-1)^(1/3)”或 這個

    符號“ (-1)的三次方根”, 依此類推.

    (5)

    “矛盾現象”解說如下:

    “(-1)^1=(-1)^(2/2)”是正確的敘述! 它們左右式都是代表 “-1”.

    “[(-1)^2]^(1/2)= 1^(1/2)”到此是正確的敘述!

    然而1^(1/2) = 一般“廣義定義”代表 “雙值1或-1”兩個數值,

    即x^2 = 1 的兩根(1或-1)都可以代表1^(1/2).

    所以 “1^(1/2) = 1”是一般高中狹義的規定1^(1/2)是代表1

    (“單一的數值(single-valued)”),

    通常就隨便說 [(-1)^2]^(1/2)= “1^(1/2) =1 ” <-----1^(1/2) =1這裡出

    現矛盾現象所在!!!

    另外[(-1)^(1/2)]^2=-1是正確的敘述!

    (因為

    [(-1)^(1/2)] =[i or -i],

    所以

    [(-1)^(1/2)] ^2=[i or -i] ^2 =1.)

    (6)若依照廣義 “多值” 的定義

    “多值的符號(-1)^(rs)”有一個數值會等於

    “多值的符號[(-1)^r]^s”的一個數值<------“廣義的相等”.

    因此, 了解這個觀點, 按照廣義“多值” 的定義

    (-1)^(rs) “=” [(-1)^r]^s是 “廣義的相等”; 取消高中的

    “狹義單值(single-valued)”規定就沒這個 “矛盾現象”發生了!!!!

    2008-01-10 12:46:46 補充:

    更正打字錯誤(少打了一個負號):

    -----

    [(-1)^(1/2)] ^2=[i or -i] ^2 = - 1.)

    (6)若依照廣義 “多值” 的定義

    ----.

  • 1 0 年前

    2+2=4

    4不一定=2+2

    所以....

    2/2=1

    但1不一定=2/2

    也可以是-2/-2

    所以....

  • 1 0 年前

    (-1)^1=-1 , (-1)^(2/2) = -1

    [(-1)^2]^(1/2)=1 , [(-1)^(1/2)]^2=-1

    你想問為啥會出現= 1 , 你都有答案了,正因為a 為負數是指數率不一定能套用,故指數率的定義就是 a需為正數。

    那 a^0 等於多少,其實這也是定義出來的。其餘請參考其他大師回答

    http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qi...

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