~狂愛S.H.E的小孟~ 發問時間： 社會與文化語言 · 1 0 年前

# The Envelope Theorem

The Envelope Theorem到底在講什麼

### 2 個解答

• 1 0 年前
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The envelope theorem is a basic theorem used to solve maximization problems in microeconomics. It may be used to prove Hotelling's lemma, Shephard's lemma, and Roy's identity. The statement of the theorem is:

Consider an arbitrary maximization problem where the objective function (f) depends on some parameter (a):

M(a)=max/x*ƒ(x,a)

where the function M(a) gives the maximized value of the objective function (f) as a function of the parameter (a). Now let x(a) be the value of x that solves the maximization problem in terms of the parameter (a). Then M(a) = f(x(a),a). The envelope theorem tells us how M(a) changes as the parameter (a) changes, namely:

dM(a)/da=θƒ(x*,a)/θa∣x*=x(a)

That is, the derivative of M with respect to a is given by the partial derivative of f(x,a) with respect to a, holding x fixed, and then evaluating at the optimal choice (x * ). The vertical bar to the right of the partial derivative denotes that we are to make this evaluation at x * = x(a).

Envelope theorem in generalized calculus

In the calculus of variations, the envelope theorem relates evolutes to single paths. This was first proved by Jean Gaston Darboux and Ernst Zermelo (1894) and Adolf Kneser (1898). The theorem can be stated as follows:

"When a single-parameter family of external paths from a fixed point O has an envelope, the integral from the fixed point to any point A on the envelope equals the integral from the fixed point to any second point B on the envelope plus the integral along the envelope to the first point on the envelope, JOA = JOB + JBA." [1]

2008-01-29 20:21:46 補充：

所謂一個短期成本函數，就是當某一種（或幾種）輸入品（input）由於某些承諾或者義務必須至少採購一定的量，這時候為了滿足一定量產出（output）的最小成本。我們知道，在輸入品價格恒定的情況下，為了達到某一產出量，有一個最小成本及其對應的最優輸入結構，但是在短期情況下，往往這種最優輸入結構不能達到。比如說，這個月為了達到某一產出，最小成本的最優輸入是購買砂糖1000公斤，但是根據契約，公司必須購入1200公斤砂糖。這種情況下，必須履行承諾，於是，這條短期成本曲線就是給定輸入1200公斤砂糖的前提下的最小成本對應產出量的曲線。

2008-01-29 20:23:09 補充：

接下來是簡單的數學表述……抱歉我沒法用具體的數學符號，只能盡力說明……

我們不妨定義一個集合，集合每一個元素都包含了對某幾種輸入品及其給定輸入量的具體表述，而該集合是對所有可能出現情況的完全列舉，

2008-01-29 20:24:02 補充：

則這個集合必然有無窮多個元素。那麼對該集合的某一個元素，就可以定義一條獨一無二的短期成本函數，所有的短期成本函數有且只有一個Envelope,

2008-01-29 21:42:25 補充：

也就是長期成本函數，參看Envelope Theorem。

根據該定理，應該就是包絡定理吧，某一條短期曲線上至少有一點和該長期曲線相切，

2008-01-29 21:43:24 補充：

亦即相交並且斜率相等，用公式表達就是c(q|z)>=C(q) for all z in Z，

2008-01-29 21:44:08 補充：

這裏的Z就是上面那個集合。可以看出，長期曲線不會和任何短期曲線重合，

2008-01-29 21:44:55 補充：

可以看出，長期曲線不會和任何短期曲線重合，

2008-01-29 21:45:58 補充：

也就是一天一個夢想問的：短期成本曲線上並非每一點都與長期成

2008-01-29 21:46:50 補充：

本曲線上的某一點相對應。而長期曲線由於是所有

2008-01-29 21:48:06 補充：

短期曲線的Envelope，所以有：長期成本曲線上的每一點都與短期成本曲線上的某一點相對應。

2008-01-29 21:48:52 補充：

成本曲線上的某一點相對應。(字數關係,分段表示)

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• 匿名使用者
1 0 年前

你在那裡看的! 沒有上文下理很難猜出意思。

因Theorem 是定律及命定跟Envelope 一個信封基本上是沒有太大的關係。

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