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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

不定積分求解!

cocococococoococo...

圖片參考:http://i196.photobucket.com/albums/aa78/risako_sug...

               ...

答案給的是

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+C

               ...

答案有沒有錯啊?

               ...

我算不出來!!!

拜托高手幫忙一下!

               ...

cocococococoococo...

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的確,dθ 忘了打~~~ 幫朋友代問的,口述太快,不小心被我忽略了!

2 個解答

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  • 最佳解答

    首先 你的積分是對 "哪個變數積分" ( 應該是 θ 吧 )

    那種式子是沒意義的 @@

    ∫(1 + cosθ )^(-3/2) dθ

    = ∫( 2*cos^2 θ/2 )^(-3/2) dθ

    = ∫( 2*cos^2 θ/2 )^(-3/2) dθ

    = 1 / √2 * ∫sec^3 θ/2 d(θ/2)

    這時就在考驗你會不會積分 ∫sec^3 x dx

    ∫sec^3 x dx

    = ∫secx d(tanx)

    = secx * tanx - ∫tanx d(secx)

    = secx * tanx - ∫tanx * secx*tanx dx

    = secx * tanx - ∫( sec^2 x - 1)*secx dx

    = secx * tanx - ∫sec^3 x dx + ∫secx dx

    所以:

    2∫sec^3 x dx = secx * tanx + ∫secx dx

    → ∫sec^3 x dx = 1/2 secx * tanx + 1/2∫secx dx

    = 1/2 secx * tanx 1/2 ln | secx + tanx | C

    (在此假設你會 ∫secx dx 的積分,所以就不再多寫它的算法)

    因此可以得出

    ∫(1 + cosθ )^(-3/2) dθ

    = 1 / √2 * ∫sec^3 θ/2 d(θ/2)

    = 1 / √2 * [ 1/2 secθ/2 * tanθ/2 + 1/2 ln | secθ/2 + tanθ/2 | ] + C

    = 1 / 2 √2 * [ secθ/2 * tanθ/2 + ln | secθ/2 + tanθ/2 | ] + C

    2008-04-15 15:05:16 補充:

    基本上不是答案給錯

    就是你的積分式子 有給錯

    (小弟應該沒算錯...吧)

    大大可以自己微分一下驗證就知道了

    2008-04-16 04:09:11 補充:

    抱歉認錯人~

    ∫(1 + cosθ )^(-3/2) dθ

    = ∫( 2*cos^2 θ/2 )^(-3/2) dθ

    這一步是用二倍角公式:

    cosθ = 2cos^2 θ/2 - 1

    = 1 / √2 * ∫sec^3 θ/2 d(θ/2)

    這一步只是做整理

    用到 1 / cosθ = secθ

    2008-04-16 04:12:56 補充:

    若跳太快,小弟寫清楚ㄧ點:

    ∫( 2*cos^2 θ/2 )^(-3/2) dθ

    = ∫( 2^(-3/2) * cos^(-3) θ/2 ) dθ

    = 1 / 2√2 * ∫cos^(-3) θ/2 dθ

    = 1 / 2√2 * ∫sec^3 θ/2 dθ

    = 1 / √2 * ∫sec^3 (θ/2) d(θ/2)

    接下來就只剩 ∫sec^3 (θ/2) d(θ/2) 要處理~

    小弟會把 2 除進 d裡面,是因為 假設 r = (θ/2)

    則 ∫sec^3 (θ/2) d(θ/2) = ∫sec^3 r dr

    不過常常會有蠻多人積分完後,會忘記把 r = (θ/2) 帶回去

    所以小弟都是直接寫

    2008-04-16 20:21:31 補充:

    姆,沒錯阿

    我微分後是對的

    您說會差兩倍

    我猜是沒注意到 "對誰積分"

    小弟有考慮到 1/2 的問題喔~

    您仔細看

    小弟是直接把 1/2 "直接丟到" d的後面

    變成是對 "θ/2" 積分

    您用代換變數法去算,結果還是ㄧ樣

    大大再想看看吧 ~~

  • 1 0 年前

    這個答案對嗎? 好像不對吧!

    2008-04-16 01:15:11 補充:

    我不是發問的人啦!

    發問的人的答案是錯的

    可是我覺得您的答案也不對呀!

    那請問您這個步驟如何來的?

    ∫( 2*cos^2 θ/2 )^(-3/2) dθ

    = 1 / √2 *∫sec^3 θ/2 d(θ/2)

    ∫sec^3 θ/2 d(θ/2) 這個部份是在分子, 還是分母?

    2008-04-16 04:55:40 補充:

    喔! 我知道哪裡不對了!

    您令 x = θ/2, 可是 dx = 1/2 * dθ

    您沒有乘以 1/2

    所以答案才差了 2 倍

    難怪我微分您的答案都一直不對

    2008-04-19 14:45:06 補充:

    哈哈! 失禮了

    您沒算錯, 我也沒微錯

    但是 ~

    我加錯了

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