王小丸 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

大一微積分的問題?????(請詳答)

Find lim┬(x→0)⁡〖〖(sinx/x)〗^(1/x^2 ) 〗

解:

lim┬(x→0)⁡〖(sinx/x)^(1/x^2 ) 〗

= lim┬(x→0)⁡[exp ln⁡〖(〖sinx/x)〗^(1/x^2 ) 〗 ]

= lim┬(x→0)⁡{exp⁡[1/x^2 ln⁡〖sinx/x〗 ] }

=exp⁡{lim┬(x→2)⁡〖ln⁡〖sinx-ln⁡x 〗/x^2 〗 }-----a

=exp⁡〖{lim┬(x→0)⁡〖(cosx/sinx-1/x)/2x〗 }-----b〗

=exp⁡{lim┬(x→0)⁡〖((xcosx-sinx)/xsinx)/2x〗 }

=exp⁡{lim┬(x→0)⁡〖(xcosx-sinx)/(2x^2 sinx)〗 }

=exp⁡{lim┬(x→0)⁡〖(cosx-xsinx-cosx)/(2x^2 cosx+4xsinx)〗 }-----c

=exp⁡{lim┬(x→0)⁡〖(-xsinx)/(2x^2 cosx+4xsinx)〗 }

=exp⁡{lim┬(x→0)⁡〖((-sinx)/x)/(2cosx+4sinx/x)〗 }

=exp (-1)/6

=e^((-1)/6)

=1/√(6&e)

a: 為什麼會變成x→2?

b: 為什麼又變回x→0而x^2 為什麼會變成2x?

c: 是怎麼來的?

已更新項目:

用wood2007打時好好的,po上去不知為何變這樣,看不懂的話,留言我會寄檔案給你的~~~

謝謝

1 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    a: 是x→0才對, 不是x→2

    b: 是L'Hospital 法則 (上下各別求導函數)

    x→0時, 分子ln(sinx/x)→ln1=0, d/dx[ln(sinx)-lnx]=cosx/sinx-1/x

    分母x2導函數=2x

    c: lim (xcosx-sinx)/(2x2 sinx) 經L'法則改為 分子導函數cosx-xsinx-cosx

    除以分母導函數4xsinx+2x2cosx

    d: 化簡後再分子分母同除以x2 即可

    參考資料: me
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