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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

解一階微分方程式

Re=a+b*T------------------為T 一次函數, a,b 為常數

RE=w*(u*(1+T)-v(1+k*T)*T)........為T二函數, w,u,v,k為常數

當Re, RE 滿足下式時

(1-b)*[(dRE/dT)/(dRe/dT)] +[1-2(RE/Re)+b(RE/Re)^2]=0.........0<b<1

此處RE, Re對T微分式 RE'=dRE/dT, Re'=dRe/dT

求T的表示式

已更新項目:

請教一下 可以用

T=0時 代入RE(T=0)=y(0)=wu, Re(T=0)=x(0)=a 時得到

C=[wu/a - 1)/(bwu/a -1)]/a 嗎?

2 個已更新項目:

如果可以

能否麻煩

將 RE(T) 和 Re(T) 幫忙帶進

那麼T的表示式應該是三次式

只是一直想不通

Re=a+b*T, RE=w*(u*(1+T)-v(1+k*T)*T)

直接帶進微分式

T的表示式應該是四次式

3 個已更新項目:

令 y(T) = x(T)*u(T)

→ dy/dx = u + x* du/dx?

OR x'=b → dy/dx = (b)u + x* du/dx

4 個已更新項目:

(1)抱歉 我題目d 敲成b 

Re=a+d*T------------------為T 一次函數, a,d 為常數

(2)

dy/dx = u + x* du/dx?

Or x'=dRe/dT=d → dy/dx = (d)u + x* du/dx 都可以 因為會隱藏在積分常數C

(3)只是不明白代積分常數C, 跟數值分析結果

T=0時 代入RE(T=0)=y(0)=wu, Re(T=0)=x(0)=a 時得到

C=[wu/a - 1)/(bwu/a -1)]/a 嗎?

1 個解答

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  • 最佳解答

    為了排版方便,小弟令

    RE(T) = y(T) , Re(T) = x(T)

    所以

    (1-b)*[ (dRE/dT) / (dRe/dT) ] + [1 - 2(RE/Re) + b(RE/Re)^2]=0

    → (1-b)* dy/dx + [ 1 - 2(y/x) + b(y/x)^2 ] = 0

    令 y(T) = x(T)*u(T)

    → dy/dx = u + x* du/dx

    帶入原 ODE 可得:

    (1-b)*( u + x* du/dx ) + [ 1 - 2u + b*u^2 ] = 0

    → (1 - b)*x* du/dx + (bu - 1)*(u - 1) = 0

    → (b - 1)/[(bu - 1)*(u - 1)] du = 1/x dx

    → [ 1/(u - 1) - b/(bu - 1) ] du = 1/x dx

    → ln(u - 1) - ln(bu - 1) = ln[C*x] ______where C is a integrating constant

    → (u - 1) / (bu - 1) = Cx

    → (y/x - 1)/(b*y/x -1) = Cx

    即 ( RE(T) /Re(T) - 1 )/( b*RE(T)/Re(T) - 1 ) = C*Re(T)

    將 RE(T) 和 Re(T) 帶進去就是大大所謂的 T 的表示式

    2008-05-04 19:56:48 補充:

    ------------------

    小弟個人覺得 RE(T) 和 Re(T) 的給定有問題,原因是

    (y/x - 1)/(b*y/x -1) = Cx

    → (y/x - 1) = Cx*(b*y/x -1)

    → y - x = C*bxy - C*x^2

    假設 y = m + n*T + p*T^2

    且把 x = a + b*T 帶入後,會得到一元三次方程式

    因為"T 為變因",所以每項係數都為 0,可列得聯立方程組

    其中觀察 T^3 的係數:

    C*b^2*p = 0

    討論三種可能:

    2008-05-04 19:57:03 補充:

    (1) C = 0:

    會得到 y = x ,所以 y 非 二次多項式(不合)

    (2) b = 0:

    這樣 x = a ,非ㄧ次多項式(不合)

    (3) p = 0:

    這樣 y 非 二次多項式(不合)

    可見大大ㄧ開始所假設的 y 和 x

    "並不滿足此 ODE 的通解 "

    2008-05-04 20:00:11 補充:

    令 y = xu

    所以由萊布尼茲公式

    dy/dx

    = d(xu) / dx

    = u*dx/dx + x*du/dx

    = u + x* du/dx

    2008-05-05 21:34:51 補充:

    (2) 大大您微分的概念完全不對!

     x' = dRe/dT = d

    dy/dx = u + x* du/dx

    "ㄧ點關係也沒有~"

     您所謂的 x'(T) = d ,"是 x 對 T 微分"

     可是

     dy/dx = d(xu) / dx

    "整個式子是對 x 微分,小弟只是展開而已"

     小弟有寫到 "對 T 微分" 嗎~

    2008-05-05 21:37:13 補充:

    (3)

    小弟後面有註明了

    RE(T) 和 Re(T) 的給定很奇怪

    即使可以把值帶入求出 C

    可是會發現 RE(T) 並非T的二次多項式

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