國二數學因數問題 一個數除以三餘一 etc...

一個數字除3以餘1 除以7餘3 除以11餘5 那個數字為何?

拜託幫幫忙 要教弟弟問題!!

thank you!!

3 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    一個數字除3以餘1 除以7餘3 除以11餘5 那個數字為何?

    拜託幫幫忙 要教弟弟問題!!

    這種題目,一般都會用一種看似笨拙卻很實用的做法,來解題

    因為除以11餘5所以可以令這個數(n)如下

    n=11a+5(a是整數)

    a=0, n=5/7….5

    a=1, n=16/7….2

    a=2, n=27/7….6

    a=3,n=38/7….3(合條件)

    所以知道38被11除5,被7除餘3,所以我們可以令

    n=11*7*b+38=77b+38(b是整數,因為11*7*b一定可以被11跟7整除,而38又合條件)

    b=0, n=38/3…2

    b=1,n=115/3…1(合條件)

    所以可以令

    n=11*7*3*c+115=231c+115(c為整數)

    這種題目通常都會給一個範圍,要不然就是最小正整數。

    如果答案是最小正整數,則是115

    要不然通式就是n=231c+115

    不懂請問!

    2008-05-03 23:22:12 補充:

    克大師:

    我曾用您的方法,找特解不曉得是我不熟,還是怎樣好像也不是像您一樣一擊必殺。事實上您在取特解的過程跟我在除的過程是一樣的,如果數很大,您也未必一眼就能看出是那一個數,還不是要一個一個去try。因為您常把過程省略,所以感覺好像一擊必殺。事實上未必如此。我不是亂說的。如果真的比較快,那我一定會用。但事實上在找特解的過程跟我在除的過程是一樣的。

    當然我會用比較大的數去做當然是有原因的,因為比較小的數可以少除幾次。就是這樣。而且方法簡單。做熟的自然得心應手。不須要太高深的學問!

    2008-05-03 23:43:14 補充:

    克大師:

    您講的我完全同意,只是今天面對一個國二的學生,不用我的方法,您要如何讓他去做這個題目呢?或許面對問題的時候。每個人的解法不同,或許都能達到相同的目地。就像您講的碰到比較大的數字怎麼辦,當然是善用手邊的工具跟學過的東西,或許有時候寫個小程式就解決,那須要花太多時間。因為我不是從事教育工作,所以或許有些地方不太嚴謹,也請您多多包涵了。

    2008-05-04 00:33:52 補充:

    果然厲害!佩服!

    還好現在有電腦,要不然日子就難過了。

    或許我花在如何撰寫程式的時間比花在解數學的時間多。

    也或許我比較懶,在我的生活裡,我沒有辦法假裝電腦不存在。

    對於問題的思考,我常是用程式的角度去解題,也就是簡單快速就好。也就是暴力破解。畢竟單一的除法去跑,比式子代來代去簡單多了,實在不應該說這種話。

    謝謝您的指導,讓我又多學了很多東西。

    2008-05-04 00:45:44 補充:

    不過您給了我一個靈感,如果數字很大,我會用您的方法(尤拉法)去做,不過不是同餘的做法,我還是會用老法子,只是我不須要除那麼多次而已,畢竟如果不須要除太多次的話,我的法子其實也還不是很糟的方法。其實那也不是我的方法,只是在知識+看到別人的方法,把他整理出一個固定的模式做法而已。

    最困擾的地方就是萬一數字很大要除很多次,就很麻煩,雖然目前還沒碰到。但我覺得好像打了預防針。

  • 1 0 年前

    謝謝兩位專家!!雖然我的點數給很少 但你們卻都很認真回答..這個問題是我幫一個朋友問的,他在國外教國二的小朋友數學.你們回我問題後,我已經來不及跟我的朋友說你們所提供的方法.他自己解開了,也是用Nuee大的方法.但他在台灣受教育 所以難就難再 他知道怎麼解,卻不知道怎麼跟小朋友解釋...果然他去上課...沒有一個小朋友聽得懂...因為他們一直問為什麼.這是式子是哪來的...但還是很謝謝你們喔!!

  • 1 0 年前

    看在下的必殺技 喝!!模--數--歸--一!!

    x≡1(mod 3)→7x≡7(mod 3*7)---甲

    x≡3(mod 7)→3x≡9(mod 7*3)---乙

    甲減乙

    4x≡-2(mod 21)

    →4x≡-2+42≡40(mod 21)

    →x≡10(mod 21)

    x≡10(mod 21)→11x≡110(mod 231)→22x≡220(mod 231)---丙

    x≡5(mod 11)→21x≡105(mod 231)---丁

    丙減丁

    x≡115(mod 231)

    2008-05-03 20:46:48 補充:

    不然,還有傳統的中國剩餘

    令x=77a+33b+21c

    77a≡-a≡1(mod 3),取a=-1

    33b≡-2b≡3(mod 7),取b=2

    21c≡-c≡5(mod 11),取c=6

    x的特解是77*(-1)+33*2+21*6=115

    故x≡115(mod 231)

    可是,版主大概看不懂同餘式吧!?

    國二為什麼要學這種問題呀!?

    2008-05-03 21:44:00 補充:

    附帶一提,這與因數或倍數何干呢?又不是皆餘1或皆不足3!

    現代學生常常被老師魚目混珠地教授一些現階段毋需知道的題目。

    2008-05-03 22:42:41 補充:

    Nuee大:

    你的實用的方法有兩個很大的缺點:

    一、

    你將a=1,2,3,......依序代入(11a+5)中,再分別除以7,看a等於多少時,餘數會等於3,

    但,你怎麼知道必然存在這樣的a?萬一找不到呢?

    沒錯,a=1,2,3,4,5,6,7,餘數必然0,1,2,3,4,5,6各出現一次(順序不一定),所以最多7次,一定找得到,

    可是為什麼呢?

    這種鴿籠原理的證明卻又不是普通國二生能懂的,

    那麼,你能「告訴」學生為甚麼一定找得到嗎?

    二、

    萬一除數是31、29、23怎麼辦呢?

    明知道一定找得到,可是,這除數也太大了吧!?

    運氣不好的話,要算很久喔!除非可以用Excel。

    2008-05-03 23:46:44 補充:

    如果數很大,您也未必一眼就能看出是那一個數,還不是要一個一個去try。

    那倒不是,還有尤拉法解不定方程可以用。

    比方21c≡-c≡5(mod 11),取c=6,很好猜

    但如果是42c≡17(mod 97)呢?c要取多少?猜不著了.......

    那就解不定方程42c-17=97k吧!(用尤拉法)

    是多了些步驟,不過還是可以很快找到c,不用c=1,2,3....試到97。

    好啦!做給你看:

    42c-17=97k

    97k+17≡0(mod 42)

    →13k+17≡0(mod 42)

    令13k+17=42m

    →42m-17≡0(mod 13)

    →3m-4≡0(mod 13),(可以猜了)取m=-3,則k=-11,c=-25

還有問題?馬上發問,尋求解答。