里長 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

為什麼數學上要特地創立LnX及e?

LogyX是以y為底的對數;

Log10X是以10為底的對數;

LnX是以e為底的自然對數,e=2.71828182845904。

請問:

1. 為什麼數學上要特地創立LnX?它有什麼特別的涵義?它有什麼特別的用途?

2. 據我所知e可用在求連續複利,除此之外,有没有別的用途?

已更新項目:

3. 為什麼LnX會被稱為自然對數?即為什麼會在"對數"之前多加個"自然"二個字?

2 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    剛開始log即以10為底,但面臨導函數(微積分)時, 發現

    d/dx (log10x)=1/x*log10e ≒0.4343/x

    不如 d/dx (logex)=1/x漂亮,簡易, 即以e為底之對數函數,在微積分運算上較簡潔,故(歐美體系數學家)將logex以另一個代號lnx書寫,但蘇聯東歐部份數學家較常將logex簡記為logx, 反而log10x不作簡寫(中國大陸有些書本亦以log表示自然對數,還有某些有名統計軟體也是用log表示自然對數,因此使用上要先注意她的log到底以多少為底喔!)

    又面臨自然科學問題,例如物理,生物,藥學,連續複利等科目時,經常會有變化量與當時數量成正或反比的現象,數學上則以微分方程式表示,其解(函數)就會有ln(x)出現,故稱為natural logarithm(自然對數)

    註:給大大另一思考題: natural logarithm為何不簡寫為nl, 反而簡寫為ln呢? (好像知識家曾有這樣的問題,自行去找吧!)

    參考資料: me
  • e 的定義是:

    lim [1+1/n]^n

    n→∞

    或 lim[1+n]^(1/n)

    n→0

    它沒有啥特別意涵,這是數學演化的必然結果~

    只要數學家肯接受 極限 的概念

    像 e、π 這類的超越數是一定會出現的

    這就好比像三角函數為何會被定義出來

    以及為何要這樣子定義三角函數

    道理是類似的

    "遇到問題→尋找解決途徑→......"

    數學就好比是ㄧ個無窮迴圈~

    2008-05-25 18:34:15 補充:

    至於 lnx 會被稱為"自然對數"

    是因為有很多事情或自然界上的事物

    若是能拿對數來描述

    "用 lnx" 比用"logx" 描述還要來的貼切多了

    例子就要請大大自己上網找或是翻閱書籍~

    這就跟 (√5 - 1)/2 為何被稱為 "黃金比例"是ㄧ樣的

    從古希臘人開始

    就是以這個比例來打造建築物

    因為他們覺得以這種比例所建出來的建築物

    看起來是最唯美、最渾然天成的

    而且自然界也有很多事物都是遵循此比例來運作

還有問題?馬上發問,尋求解答。