bb 發問時間: 科學其他:科學 · 1 0 年前

請問一下柯西不等式?

麻煩以向量的方式來解釋這公式的意思?

我看課本實在看沒懂

已更新項目:

同時內積又可表成根號(a^2+b^2) *根號(c^2+d^2) *cosθ=(ac+bd)

所以將式子修改成(ac+bd)^2小於等餘(a^2+b^2)(c^2+d^2)

為什麼突然跑出一個(ac+bd)=長度相乘?

還有這東西能求最大值最小值?

麻煩了

2 個已更新項目:

還有一個就是說 我課本上 |向量a˙向量b|

旁邊這東西 旁邊的| | 不是代表長度嗎?

那向量a b 內績完後只剩下一個數值 那要如何算出他的長度 根號x^2+y^2

不好意思 又補充這麼多白痴問題-.-

1 個解答

評分
  • 璧華
    Lv 6
    1 0 年前
    最佳解答

    柯西不等式就是長度平方相乘大於等於內積的平方

    若平面上兩向量AB與AC,中間夾角θ

    假設向量AB=(a,b),向量AC=(c,d)

    內積可表為|AB|*|AC|*cosθ=根號(a^2+b^2) *根號(c^2+d^2) *cosθ

    將內積平方=(a^2+b^2)(c^2+d^2)cos^2 θ

    因為cos^2 θ小於等餘1

    所以(a^2+b^2)(c^2+d^2)cos^2 θ小於等餘(a^2+b^2)(c^2+d^2)

    同時內積又可表成根號(a^2+b^2) *根號(c^2+d^2) *cosθ=(ac+bd)

    所以將式子修改成(ac+bd)^2小於等餘(a^2+b^2)(c^2+d^2)

    希望您可以看懂,若仍不懂就再補充發問吧!

    2008-08-03 10:13:40 補充:

    之所以會突然變成ac+bd是因為在下當初就把向量AB設定成(a,b),向量AC設定成(c,d)

    (a,b)*(c,d)=ac+bd

    求最大最小值的部分,在下用兩例來說明

    題目:所有正數x,y,且x+y=3,求(1)(1/x)+4/y)的最小值(2)根號x +根號y的最大值

    想辦法將題目給的東西配成柯西不等式的形式

    (1)您要將a^2當成x,b^2當成y,c^2當成1/x,d^2當成4/y

    那麼ac=根號(ac)^2=根號(a^2 *c^2)=根號1=1

    bd=根號(bd)^2=根號(b^2 *d^2)=根號4=2

    2008-08-03 10:23:05 補充:

    改寫題目

    (x+y)*[(1/x)+(4/y)]大於等於(1+2)^2

    5[(1/x)+(4/y)]大於等於9

    (1/x)+(4/y)大於等於9/5

    最小值為9/5

    (2)您要把a當作根號x,b當作根號y,c與d皆當作1

    改寫題目

    則ac=1*根號x=根號x,bd=1*根號y=根號y

    [(根號x)^2+(根號y)^2](1+1)大於等於(根號x +根號y)^2

    2(x+y)大於等於(根號x +根號y)^2

    10大於等於(根號x +根號y)^2

    則最大值就是根號10

    2008-08-03 10:32:48 補充:

    |AB向量|就是AB向量的長度,或說是線段AB的長度

    如果向量U可寫成(x1,y1),向量V可寫成(x2,y2)

    U*V=|U|*|V|*cosU與V的夾角=根號x1^2 +y1^2) *根號(x2^2 +y2^2) *cosU與V的夾角=x1x2+y1y2

    大概就是這樣,若還是不懂可請教老師或發問補充

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