張君葳 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

高斯基本問題~~ 急~

若將 100! = 1乘 2 乘 3 乘 4 ......乘 100 化為標準分解式

得到 100! = 2的a次方 乘 3的b次方 乘 5的c次方 乘 7的 d次方

....乘 97 則

(1) a=____ b=____ c=____ d=____

(2) 100! 乘開後有其末端連續有幾個_____ " 0 "

(3) 若 n 屬於 N (正整數) 且 28 的 n次方 整除 100!

則 n 之最大值為___。

另外 我有個地方聽不懂

甚麼是 n! 中質因數 p的次方為 [ n除p ]+[ n除p2次]+[ n除p3次 ]

..... 這是甚麼意思 還是有甚麼用??

請會的人可以教教我 !

( 需附每題的詳解及答案 )

非常感謝~~

已更新項目:

第三小題

為甚麼 28 = 2^2 * 7

要看 7 的 次方數 而不看 2的次方數呢?

( 請問這要如何判定呢? )

還有 再請教您一個問題 72^n 整除 60!

那 n 的最大值為何呢 ?? ( 可以再幫我詳解這題嗎? )

謝謝 ~~~

2 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    [100/2] = 50, [100/2²] = 25, [100/2³] = 12

    [100/2^4] = 6, [100/2^5] = 3, [100/2^6] = 1

    a = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97

    [100/3] = 33, [100/3²] = 11, [100/3³] = 3, [100/3^4] = 1

    b = 33 + 11 + 3 + 1 = 48

    [100/5] = 20, [100/5²] = 4

    c = 20 + 4 = 24

    [100/7] = 14, [100/7²] = 2

    d = 14 + 2 = 16

    因此, a = 97, b = 48, c = 24, d = 16

    ---------------------

    每個 10 都等於 2 * 5, 只要看 2 或 5 的次方數少的一方, 即可得知該數有幾個 0

    因此, 100! 的末端連續有 24 個 0

    ---------------------

    28 = 2² * 7

    在 100! 中, 7 的次方數為 16 次方

    則 28 的 16 次方整除 100!

    因此, n 最大值為 16

    ---------------------

    另外, n! 中質因數 p 的次方數為 [n/p] + [n/p²] + [n/p³] + .......

    這個部份, 我們可以從 n! 的性質來看

    n! = 1 * 2 * 3 * ....... * n

    假設現在要求質因數 p 的次方數, 我們可以重新把 n! 列成

    n! = 1 * 2 * 3 * ....... * p¹ * ....... * 2p¹ * ....... p² * ....... * p³ ....... * n

    n! = p^[n/p] * 1 * 2 * 3 * ....... * 1 * ....... * 2 * ....... * p¹ * ....... * p² * ....... * n

    我們把 p 的倍數, 也就每隔 p 個數, 就會產生 p 的倍數, 而 p 的倍數數目,

    用 [n/p] 表示出來, 就代表 p 的次方數

    接下來

    n! = p^[n/p] * p^[n/p²] 1 * 2 * 3 * ....... * 1 * ....... * 2 * ....... * 1 * ....... * p¹ * ....... * n

    p 的倍數數目用 [n/p] 找尋出來之後, 在整個式子, 也許還有 p 的倍數

    此時, 我們可以用 [n/p²] 來計算

    同理, p² 的倍數數目用 [n/p²] 找尋出來之後, 在整個式子, 也許還有 p 的倍數

    此時, 我們可以用 [n/p³] 來計算

    一直下去, 到 [n/p^x] = 0 即可結束

    也就是

    n! = p^[n/p] * p^[n/p²] * p^[n/p³] * ....... * 1 * 2 * 3 * ....... * 1 * ....... * n

    若不太了解文字敘述的意思, 可直接代 n = 100, p = 2 做參考, 或再補充發問

    http://tw.myblog.yahoo.com/jw!JCVbjQyaBRbXTWOakinc...

    2008-08-27 18:06:59 補充:

    為甚麼 28 = 2² * 7, 要看 7 的次方數, 而不看 2的次方數呢?

    因為, 我們知道

    100! = 2^97 * 3^48 * 5^24 * 7^16 * .......

    100! = (2²)^16 * 7^16 * 2^65 * 3^48 * 5^24 * .......

    100! = 28^16 * 2^65 * 3^48 * 5^24 * .......

    100! 可以被 28^16 整除

    所以, 要看次方數小的那一邊

    2008-08-27 18:07:05 補充:

    反之, 若我們看次方數大的

    100! = 2^97 * 3^48 * 5^24 * 7^16 * .......

    100! = 2^97 * 7^97/7^81 * 2^65 * 3^48 * 5^24 * .......

    100! = 28^97/7^81 * 2^65 * 3^48 * 5^24 * .......

    100! 裡頭, 7的次方數最多只有 16 次方, 還要再除以 7^81, 當然不能整除

    所以, 當然要看次方數小的一邊囉!

    2008-08-27 18:14:02 補充:

    首先看因式分解 60!, 60! = 2^56 * 3^28 * 5^14 * .......

    再來因式分解 72, 72 = 2³ * 3²

    60! = 2^56 * 3^28 * 5^14 * .......

    = (2³)^14 * (3²)^14 * 2^14 * 5^14 * .......

    = 72^14 * 2^14 * 5^14 * .......

    因此, n 最大為 14

    參考資料: 思瑜的部落格
  • 1 0 年前

    給答案好了!

    100!

    =2^97*3^48*5^24*7^16*11^9*13^7*17^5*19^5*23^4*29^3*31^3*37^2*41^2*43^2*47^2*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97

    =933262154439441526816992388562[98 digits]916864000000000000000000000000

    24個0

    28^16

    2008-08-26 13:50:52 補充:

    思瑜太厲害囉!

    我上面這個叫暴力,破題法。

    吃越老越懶惰。

    每次看到一些學生,打了一堆題目上來,我都很想送他們這套軟體。

    反正把題目打進去,答案就出來了。

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