逍遙人 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

一題 向量 直線參數式 求最小值距離

xy平面上有一直線L:2x-y+1=0及定點A(1,-1),若點P在L上移動,當P座標為何時有最短距離。

已更新項目:

給蜉蝣:

的確,我的題目要求是直線參數式解題,以後我會在問題內容裡面打,以免你耗費偌大的苦心,卻不是發問者想要的。

你後來的第二次的解題方案就是我想要的,但很可惜,Nuee先發現我要直線參數式的解答方法,所以我必須把最佳解答給他。

給Nuee:

你用到一次微分的觀念,雖然我是高二,但我至少會這個,希望以後不要用唷!因為一般的高二生沒學過(我也只是學到皮毛......)。

感謝兩位。

2 個已更新項目:

為什麼

x=”1”t

y=”2”t+1

注意這裡,t前面的係數就是直線的方向向量=(1,2)。」

沒辦法直接想,我只能直接代數字取得兩點,再得到方向向量。

3 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    xy平面上有一直線L:2x-y+1=0及定點A(1,-1),若點P在L上移動,當P座標為何時有最短距離。

    2x-y+1=0

    y=2x+1

    令x=t

    y=2t+1

    d(PA)=√[(t-1)^2+(2t+1+1)^2]

    [(t-1)^2+(2t+2)^2

    =t^2-2t+1+4t^2+8t+4

    =5t^2+6t+5

    用微分

    10t+6=0

    t=-3/5

    d=√(5*9/25-18/5+5)=4/√5=4√5/5

    x=-3/5

    y=-1/5

    我想這是版主要的做法!

    不懂請問!

    2008-09-15 00:58:04 補充:

    To 蜉大:

    其實版主實力還滿好的,會這樣問一定有原因,倒不是要用微分,用配方也是可以,只是我懶的配,才用微分。

    版大好像是要看參數式怎麼做的樣子。

    2008-09-16 11:35:00 補充:

    其實本來也有想到用向量做,只是又被後面的極小值影響,

    才改用極值去做,沒關係我把向量的做法補一下好了。

    2008-09-16 11:41:08 補充:

    向量的做法

    A(1,-1)

    2x-y+1=0

    y=2x+1

    x=”1”t

    y=”2”t+1

    注意這裡,t前面的係數就是直線的方向向量=(1,2)。

    而PA向量=(t-1,2t+1-(-1))=(t-1,2t+2)

    垂直內積=0,

    (t-1,2t+2).(1,2)=0

    t-1+4t+4=0

    5t+3=0

    t=-3/5

    不曉得這樣有沒有更了解一點!

    2008-09-19 02:01:30 補充:

    為什麼

    x=”1”t

    y=”2”t+1

    注意這裡,t前面的係數就是直線的方向向量=(1,2)。」

    沒辦法直接想,我只能直接代數字取得兩點,再得到方向向量。

    直線的兩點

    (x1,y1), (x2,y2)這兩點的向量=(x2-x1,y2-y1)=直線的方向向量。

    m=(y2-y1)/(x2-x1)

    (y-y1)=m(x-x1)[點斜式]

    2008-09-19 02:03:27 補充:

    (y-y1)=[(y2-y1)/(x2-x1)](x-x1)

    (y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1)

    令x=t

    (y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(t-x1)

    (y-y1) =[(y2-y1)/(x2-x1)](t-x1)

    y=[(y2-y1)/(x2-x1)](t-x1)+y1

    1: (y2-y1)/(x2-x1)=(x2-x1):(y2-y1)

    關鍵就在這裡,x,y的係數比=向量比。所以不一定是1。但會有一個比值的關係。

    如果還是不明瞭,請再問不用客氣!

    2008-09-19 02:09:16 補充:

    兩點

    (x1,y1), (x2,y2)這兩點的向量=(x2-x1,y2-y1)=直線的方向向量。

    m=(y2-y1)/(x2-x1)

    或者直接從斜率來想,你看m的分子是y2-y1,分母是x2-x1

    不就是方向向量嗎?

    L:2x-y+1=0

    m=-2/-1=2/1不就是(1,2)嗎?

  • 蜉蝣
    Lv 6
    1 0 年前

    TO Nuee:我剛查了版大的檔案

    由他所發問的問題來看,應該是剛升高三的學生

    如果要用微積分也是有可能,但應註明好像比較好,不然我不死得很冤

    TO逍遙的版大:可表明立場ㄇ,好歹我是不知者無罪

    如果您是要用微積分我就刪了

    說一聲好ㄇ(我也是會微積分的............)

    2008-09-15 20:59:25 補充:

    ok!感謝版主的表明,下次我也要小心標題!

    沒關係,我粗心在先,都加油

    2008-09-21 00:11:13 補充:

    ax+by=c的方向向量為k(b,-a)

    證明:ax+by=c與ax+by=0平行,而ax+by=0,必過(0,0)(b,-a)兩點,此兩點可構成向量(b,-a)

  • 進哥
    Lv 7
    1 0 年前

    什麼叫有最短距離?看不懂,

    距離要說從哪邊到哪邊的距離,

    光是講距離兩個字,誰曉得是哪段距離.

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