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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

一題三角函數的證明題,高手請進

求證64sin7θ=-sin7θ+7sin5θ-21sin3θ+35sinθ

請高手幫幫忙

1 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    利用高中的一個公式:

    若x+1/x=2cosθ

    則x^n+1/x^n=2cosnθ

    所以設2cosA=x+1/x

    (x+1/x)^7=x^7+7x^5+21x^3+35x+35/x+21/x^3+7/x^5+1/x^7

    =(x^7+1/x^7)+7(x^5+1/x^5)+21(x^3+1/x^3)+35(x+1/x)

    =2cos7A+14cos5A+42cos3A+70cosA

    =128cos^7 A

    因此64cos^7A=cos7A+7cos5A+21cos3A+35cosA

    設θ+A=90度

    64cos^7(90-θ)=cos7(90-θ)+7cos5(90-θ)+21cos3(90-θ)+35cos(90-θ)

    得到64sin^7θ=cos(630-7θ)+7cos(450-5θ)+21cos(270-3θ)+35sinθ

    =cos(-90-7θ)+7cos(90-5θ)+21cos(-90-3θ)+35sinθ

    =-sin7θ+7sin5θ-21sin3θ+35sinθ

    有錯請指教@@

    2008-09-29 11:53:07 補充:

    我給一下那個公式的證明好了

    令x=cosθ+isinθ

    則1/x=cosθ-isinθ

    x+1/x=2cosθ

    而x^n+1/x^n

    =(cosnθ+isinnθ)+(cosnθ-isinnθ)

    =2cosnθ

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