新面孔 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

若直角三角形外心和重心的距離是2,且兩股之和為22,則此直角

若直角三角形外心和重心的距離是2,且兩股之和為22,則此直角三角形的內切圓面積為多少?(A)4π (B)9π (C)16π (D)25π 平方單位。

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大大您好:想請教除了公式解,還有其他想法嗎?或是公式是怎麼來的呢?謝謝。

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不好意思,後來才看到,謝謝 ^ ^ ~

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可是斜邊長好像不是12說@@"

2 個解答

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  • 1 0 年前
    最佳解答

    這個直角三角形不存在!

    唉!現在的出題老師!

    2008-12-13 14:08:20 補充:

    嚴格說起來,這題無解,因為這樣的直角三角形不存在,

    但是如果是考試的話,也只好將錯就錯地選(D)25π囉!

    它大概希望你用「直角三角形內切圓半徑r=(兩股和-斜邊)/2」這個公式吧!

    證明直角三角形內切圓半徑r=(兩股和-斜邊)/2

    證法一:

    設兩股長為a與b,斜邊長為c,則

    (a+b+c)*(a+b-c)

    =(a+b)^2-c^2

    =(a^2+b^2+2ab)-c^2

    =2ab+(a^2+b^2-c^2)

    =2ab+0

    =2*ab

    所以(a+b+c)*(a+b-c)=2*ab,所以(ab)/(a+b+c)=(a+b-c)/2.....甲

    又因為三角形面積=r*半周長 → (ab)/2=r*(a+b+c)/2

    →r=(ab)/(a+b+c).....乙

    由甲乙兩式得知r=(a+b-c)/2,即(兩股和-斜邊)/2。

    圖片參考:http://link.photo.pchome.com.tw/s06/cloudyma/19/12...

    證法二:

    如上圖,

    有直角三角形ABC,C為直角,O為內切圓圓心,D,E,F為切點,

    連接線段OF與線段OE,觀察四邊形OFCE,

    ∠OFC=∠OEC=90度(切線),∠FCE=90度(直角三角形之直角),

    故∠EOF=360度-90度-90度-90度=90度,因此OFCE為長方形,

    又線段OF=線段OE=r,因此OFCE為正方形,因此線段CF=線段CE=r,

    又根據圓的切線性質,AF=AD,且BD=BE,分別令其為m與n,則

    兩股和-斜邊=AC+BC-AB=(m+r)+(n+r)-(m+n)=2r,

    因此r=(兩股和-斜邊)/2

    -----------

    斜邊長=2*斜邊上中線長

    斜邊上中線長=3*外心和重心的距離

    所以斜邊長=2*3*2=12(真的是12,除非你題目抄錯)

    內切圓半徑r=(兩股和-斜邊)/2=(22-12)/2=5

    故內切圓面積=5*5*π=25π

    2008-12-13 14:20:48 補充:

    為什麼這樣的直角三角形不存在呢?

    易知2*斜邊^2-兩股和^2=兩股差^2

    而(兩股差^2)必大於等於0,故(2*斜邊^2-兩股和^2)亦大於等於0,

    但本題2*12^2-22^2=-196<0,矛盾。

  • 1 0 年前

    克兄真是明察秋毫啊!

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