有關解高次項方程式問題

Question

如以方程式x^3-10x^2+29x-20=0為例子,不用餘式定理或牛頓法等,可否用各係數求解?

已更新項目:

請教大師因式分解的假設如ae=1等看不明白,麻煩解說如何得來,還有c=4

則f=-5是假設來的嗎?難道不能c=5 ,f= -4或c=10, f=-2 等更多組合,再試看看合條件的嗎?

Answer 1

最佳解答

解：x3-10x2+29x-20=0

利用因式分解

x2 x 1

a b c

e f

x 1

ae=1 cf=-20 af+be=-10 ec+bf=29

步驟如下

1. 填 a=1 、 e=1 ，c=4 、 f=-5

2. 二次項係數是-10=1*(-5)+1*b ==>b=-5

3. 檢驗一次項係數，bf+ec=(-5)*(-5)+1*4=29(符合)

這個檢驗的a,b,c,e,f之值並非唯一，這個方法是由十字交乘法延伸出來的。

故

x3-10x2+29x-20=0

==>(x2-5x+4)(x-5)=0

==>(x-1)(x-4)(x-5)=0

==>x=1 or 4 or 5

2008-12-17 14:23:30 補充：

假設原三次多項式可分解成一個二次多項式乘一個一次多項式

x^3項係數是1，故二次的領導係數a與一次的領導係數e相乘為1；再則常數乘常數＝常數

2008-12-17 14:25:06 補充：

常數項的分配就和十字交乘法是一樣，用試的看合不合。

2008-12-17 18:31:25 補充：

這個方法如果熟練的話，解題速度是很快的呢！

其組合並非唯一。

Answer 2

奇次項係數和=偶次項係數和時.會有X-1這個因式

原式=(X-1)(X的平方-9X+20)=(X-1)(X-4)(X-5)

X=1.4.5

2008-12-17 22:17:18 補充：

錯了!應該是奇次項係數和加上偶次項係數和=0.會有X-1這個因式

Answer 3

利用國中因式分解法如下

x3-10x2+29x-20=0

(x3-10x2+25x)+(4x-20)=0

x(x2-10x+25)+4(x-5)=0

(x-5)[x(x-5)+4]=0

(x-5)(x2-5x+4)=0

(x-5)(x-4)(x-1)=0

x=1 or 4 or 5