鞋仔 發問時間: 電腦與網際網路程式設計 · 1 0 年前

簡單的數學 級數和

太久沒做都忘了怎樣算。

1.......1+2+3+...+n = n(n+1)/2

2........1^2+2^2+3^2+.................n^2=n(n+1)(2n+1)/6

題目是這樣的,我想問2的這個公式是怎樣由1延伸的,有關西麼當然後面還有三次方的,如果可以一並告訴我囉 謝謝

1 個解答

評分
  • 鴨子
    Lv 6
    1 0 年前
    最佳解答

    ( a + b )^3 = (a^3) + 3 (a^2) b + 3 a (b^2) + (b^3)...式一

    令 a=1, b=0,1,2,3......,n代入(式一)中,可以得到以下各式:

    ( 1 + 0 )^3 = (1^3) + 3*(1^2)*0 + 3*1*(0^2) + (0^3)

    ( 1 + 1 )^3 = (1^3) + 3*(1^2)*1 + 3*1*(1^2) + (1^3)

    ( 1 + 2 )^3 = (1^3) + 3*(1^2)*2 + 3*1*(2^2) + (2^3)

    ( 1 + 3 )^3 = (1^3) + 3*(1^2)*3 + 3*1*(3^2) + (3^3)

    . . . . .

    ( 1 + n )^3 = (1^3) + 3*(1^2)*n + 3*1*(n^2) + (n^3)

    +)____________________________________________________

    將所有等式相加,其中等號左側數值與等號右側最後一項的三次方項相同,所以可以先相互消去,最後將式子整理,可得下面式子:

    ( 1 + n )^3 = (n + 1) + 3*(1+2+3+...+n) + 3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)

    =>

    3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)

    = ( 1 + n )^3 - (n + 1 ) - 3*(1+2+3+...+n)

    = ( 1 + n )^3 - ( 1 + n ) - 3 n ( n + 1 ) / 2

    = n ( n+1 ) ( 2n +1 ) / 2

    所以, (1^2+2^2+3^2+...+n^2) = n ( n+1 ) ( 2n +1 ) / 6

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