豪兒 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

柯西不等式

設2X+3Y+6Z=7,則X^2+Y^2+Z^2+4之最小值為?

答案是5,我想問的是

用柯西不等式的時候,為什麼不能這樣寫

(X^2+Y^2+Z^2+2^2)(2^2+3^2+6^2+1^2)>=(2X+3Y+6Z+2)^2

我知道不對,但是錯在哪?

請高手解答~謝謝

2 個解答

評分
  • linch
    Lv 7
    1 0 年前
    最佳解答

    正確方法:

    (x2 + y2 + z2 )(22 + 32 + 62) >= (2x + 3y + 6z)2

    x2 + y2 + z2 >= 1 ==> x2 + y2 + z2 + 4 >= 5

    你的方法:

    (x2 + y2 + z2 + 22)(22 + 32 + 62 + 12) >= (2x + 3y + 6z + 2)2

    x2 + y2 + z2 + 4 >= 81 / 50

    此結果與你的答案 x2 + y2 + z2 + 22 >= 5 並無衝突 ( 因為大於 5 必大於 81/50 )

    重點來了為什麼用正確方法來算時最後的那個 "5" 就是最小值而用第二種方法算出來的卻不是 "最小值"

    其實你都忽略了一點 "=" 成立時是有條件的

    以第一種方法來說等號要成立必須

    x : 2 = y : 3 = z : 6 ,加上你原來有的條件 2x + 3y + 6z = 7 可以確實將 x, y, z 找出來

    而第二種方法來說等號要成立必須

    x : 2 = y : 3 = z : 6 = 2 : 1 加上你原來有的條件 2x + 3y + 6z = 7 ,你可以發現 x, y, z 是無解的,也就是說沒有一個 x, y, z 在 2x + 3y + 6z = 7 時會讓 x2 + y2 + z2 + 4 = 81/50。所以 "=" 不會成立當然只能得到 x2 + y2 + z2 + 4 大於 81/50。

    因為要考慮到是否 x, y, z 有解,所以我們一般做題目時不會將常數部分放進柯西不等式裡去討論( 常數放進去 x, y, z 就確定了,而確定的 x, y, z 為必會福和你的限制式 )

  • 1 0 年前
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