柯西不等式
設2X+3Y+6Z=7，則X^2+Y^2+Z^2+4之最小值為?
答案是5，我想問的是
用柯西不等式的時候，為什麼不能這樣寫
(X^2+Y^2+Z^2+2^2)(2^2+3^2+6^2+1^2)>=(2X+3Y+6Z+2)^2
我知道不對，但是錯在哪?
請高手解答~謝謝
2 個解答
- linchLv 71 0 年前最佳解答
正確方法：
(x2 + y2 + z2 )(22 + 32 + 62) >= (2x + 3y + 6z)2
x2 + y2 + z2 >= 1 ==> x2 + y2 + z2 + 4 >= 5
你的方法：
(x2 + y2 + z2 + 22)(22 + 32 + 62 + 12) >= (2x + 3y + 6z + 2)2
x2 + y2 + z2 + 4 >= 81 / 50
此結果與你的答案 x2 + y2 + z2 + 22 >= 5 並無衝突 ( 因為大於 5 必大於 81/50 )
重點來了為什麼用正確方法來算時最後的那個 "5" 就是最小值而用第二種方法算出來的卻不是 "最小值"
其實你都忽略了一點 "=" 成立時是有條件的
以第一種方法來說等號要成立必須
x : 2 = y : 3 = z : 6 ，加上你原來有的條件 2x + 3y + 6z = 7 可以確實將 x, y, z 找出來
而第二種方法來說等號要成立必須
x : 2 = y : 3 = z : 6 = 2 : 1 加上你原來有的條件 2x + 3y + 6z = 7 ，你可以發現 x, y, z 是無解的，也就是說沒有一個 x, y, z 在 2x + 3y + 6z = 7 時會讓 x2 + y2 + z2 + 4 = 81/50。所以 "=" 不會成立當然只能得到 x2 + y2 + z2 + 4 大於 81/50。
因為要考慮到是否 x, y, z 有解，所以我們一般做題目時不會將常數部分放進柯西不等式裡去討論( 常數放進去 x, y, z 就確定了，而確定的 x, y, z 為必會福和你的限制式 )
