物理問題(急)10點!

Question

(a)證明質量為M半徑為R的薄球殼，對以其直徑為軸的轉動慣量為 2MR2/3。（提示：將球殼切為圓環，並用與軸的夾角為變數。）

(b)用(a)的結果求出質量M半徑R的實心球，以其直徑為軸的轉動慣量。

請盡快回覆~謝謝!!^^

Answer 1

最佳解答

(a) 將球心置於x-y座標原點，以y軸為轉軸，將球殼以平行x軸方向切為圓環，則在圓環與x軸夾角為θ時，圓環之半徑為Rcosθ，圓環之質量為Rdθ(2πRcosθ)(M/4πR2)

I=∫Rdθ(2πRcosθ)(M/4πR2)*(Rcosθ)2=(MR2/2)∫cos3θdθ=(MR2/2)∫(1-sin2θ)d(sinθ)= (MR2/2)(sinθ-sin3θ/3)(θ=-π/2→π/2)=2MR2/3

(b) 半徑r，厚度dr的球殼，質量為M/(4πR3/3)(4πr2dr)

I=[M/(4πR3/3)]∫4πr2(2r2/3)dr=( 2M /R3)∫r4dr=( 2M /5R3)r5(r=0→R)=2MR2/5