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? 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

發問微積分的小小小問題

1.∫sinx / cos^(3)x dx 去做積分 想問

先拆成∫sin/ cosx * 1/ cos^(2)x 那麼想問為何 sin/ cosx 一定要先換成''tanx'' 不能先去做成 ''''ln[sinx]'''''嗎??

像這提答案是1/2sec^(2)x+c

2.這提-4∫sinx / cos^(3)x 依樣只是前面係數不同

那這提答案怎會是-2 / cos^(2)x

1 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    1.

    不能先做成''ln[sinx]"是因為

    ∫[A(x)*B(x)]dx 不等於 [∫A(x)dx]*[∫B(x)dx]

    舉個簡單的例子:

    ∫x^2 dx = (1/3)*x^3

    [∫xdx]*[∫xdx] = [(1/2)*x^2]*[(1/2)*x^2] = (x^4)/4

    兩個並不相等,所以不能將 sinx / cosx 提出單獨積分。

    2.

    依照您的題目第二題答案應該是第一題答案的 -4倍,您會認為不同可能有兩個地方您必須注意:

    首先,secx=1/cosx。所以第一題的 sec^(2) 可以轉換成第二題的1 / cos^(2)x 是沒有問題的。

    其次,第二題答案您漏了積分常數 c ,或許您會認為第二題的積分常數應該也是第一題積分常數的 -4倍,但是基分常數是扮演一個"任意數字"的腳色,所以他再乘上 -4倍依舊還是任意數字,所以不論您的題目為何,答案的積分常數永遠都是 c 代表"任意常數"。

    2009-04-10 09:14:43 補充:

    定義上,cosx = 斜邊/鄰邊,secx = 鄰邊/對邊,所以 secx = 1/cosx。

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