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ㄚ鴻 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

數學---有關質數的問題 101 10101 ......

有一串數列 : 101,10101,1010101,101010101 ... 依此類推

為何這串數列中一定只有 101 是質數,請證明。謝啦 !

3 個解答

評分
  • 費瑪
    Lv 4
    1 0 年前
    最佳解答

    因小於√101的質數2,3,5,7都不是101的因數,故101為質數。

    以下說明此數列除了第一項101為質數外,其他項均非質數。

    當n>=2時,此數列第n項

    a(n)=1+10^2+…+10^(2n)=[10^(2n+2)-1]/(10^2-1)

    =[10^(n+1)+1][10^(n+1)-1]/[(10+1)(10-1)]

    (1)當n+1是偶數時,

    10^2-1為10^(n+1)-1的真因數,

    即10^(n+1)-1=(10^2-1)*k,其中k為大於1的整數,

    故a(n)= [10^(n+1)+1]*k非質數。

    (2)當n+1是奇數時,

    10+1為10^(n+1)+1的真因數,

    10-1為10^(n+1)-1的真因數,

    即10^(n+1)+1=(10+1)*k1,其中k1為大於1的整數,

     10^(n+1)-1=(10-1)*k2,其中k2為大於1的整數,

    故a(n)= k1*k2非質數。

    2009-04-09 23:54:16 補充:

    以上的因數性質可由以下多項式的因式性質代 x=10 得之

    (1) (x^2-1) | (x^2n - 1)

    (2) (x+1) | [x^(2n+1)+1]

      (x-1) | [x^(2n+1)-1]

    參考資料: 自己
  • rex
    Lv 7
    1 0 年前

    是漂亮

    上次罵人家暱稱是費瑪的人要還他一個公道

  • 1 0 年前

    漂亮!

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