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旋風 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

從外接圓半徑試求三內角度數

已知三角形ABC之三邊長分別為 a,b,c,且其外接圓半徑為R,

若R=a(bc)^1/2 / b+c 試求ABC的三內角之度數。

試證:對任意的正整數n,{3+(5)^1/2}^n+{3-(5)^1/2}^n必為整數且是偶數。

97年高屏區高中數學能力競賽

第二題我想是用數學歸納法來做吧

設數列< a_n >的每一項都是正數,S_n為前n項的和

且S_n^2=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3

n =1, 2,...,請導出此數列的一般項n a ,並證明之。

97年第一區區高中數學能力競賽

底下這題可做可不做

我只是想知道有沒有更快的解法而已

已更新項目:

給我思:

抱歉打不清楚

是(S_n)^2=(a_1)^3+(a_2)^3+...+(a_n)^3

2 個已更新項目:

我的解法也算蠻特殊的吧

S_n-S_(n-1)=a_n---------1

(S_n)^2-{S_(n-1)}^2=(a_n)^3

然後(S_n)^2-{S_(n-1)}^2={S_n+S_(n-1)}{S_n-S_(n-1)}

=>S_n+S_(n-1)=(a_n)^2----------2

3 個已更新項目:

1+2=>S_n= a_n(a_n+1) / 2

把n=1代入會解出a_1= 0 or 1

但由題意知道每一項都是正數

a_1=1

接下來令S_(n+1)= a_(n+1){a_(n+1)+1} / 2 = S_n+a_(n+1)

之後會解出a_(n+1)-a_n=1

就能推得a_n=n了

4 個已更新項目:

感覺上我的較為複雜@@

不過這邊是怎麼推演的可以講解一下嗎?

(1+2+...+k-1+a_k)^2=1^3+2^3+...+(k-1)^3+(a_k)^3

k(k-1)a_k+(a_k)^2=(a_k)^3

該死的字數限制...

5 個已更新項目:

S_(n+1)= a_(n+1){a_(n+1)+1} / 2 = S_n+a_(n+1)

把之前算的S_n= a_n(a_n+1) / 2代入

=>a_(n+1){a_(n+1)+1} / 2 = a_n(a_n+1) / 2 +a_(n+1)

=>{a_(n+1)}^2+a_n+1=(a_n)^2+a_n+2a_(n+1)

=>{a_(n+1)}^2-(a_n)^2=a_n+{a_(n+1)}

=>[{a_(n+1)}+a_n][{a_(n+1)}-a_n] = a_n+{a_(n+1)}

=>a_(n+1)-a_n=1

謝謝講解

3 個解答

評分
  • 老王
    Lv 7
    1 0 年前
    最佳解答

    啊!!我今年太偷懶了,只做到新竹區而已

    1

    sinA=a/2R=(b+c)/2√bc>=2√bc/2√bc=1

    故角A=90度,此時b=c

    角B=角C=45度

    2

    a_1=6 ,a_2=28

    3+√5+3-√5=6

    (3+√5)(3-√5)=4

    故a_(n+2)=6a_(n+1)-4a_n

    因為初值為偶數,遞迴的係數也是偶數

    故所有a_n接為偶數

    至於北一區那題我寫的答案在學校裡,星期一再跟你分享

    2009-06-16 09:48:23 補充:

    北一區那題我是用數學歸納法

    計算出a_1=1

    假設n

    2009-06-16 09:51:19 補充:

    不知為何,被消掉了,臭YAHOO!!!

    假設n

    2009-06-16 09:51:40 補充:

    假設n

    2009-06-16 09:52:33 補充:

    不知為何,被消掉了,臭YAHOO!!!

    假設n小於k時a_n=n

    計算a_k

    (1+2+...+k-1+a_k)^2=1^3+2^3+...+(k-1)^3+(a_k)^3

    k(k-1)a_k+(a_k)^2=(a_k)^3

    (a_k)^2-a_k-k(k-1)=0

    (a_k+(k-1))(a_k-k)=0

    a_k=-(k-1)不合

    a_k=k

  • 1 0 年前

    第二題確實是可以用數學歸納法做。

    先檢查n=1是否成立

    再觀察n=2是否成立。

    再由數學歸納法第二原理。

    設n=k 、 n=k+1 成立

    由這兩個証n=k+2成立。

    不過這個証法比較麻煩。

    老王的作法是相當高明的。

  • ?
    Lv 7
    1 0 年前

    1.已知三角形ABC之三邊長分別為 a,b,c,且其外接圓半徑為R,

    若R=a(bc)^1/2 / b+c 試求ABC的三內角之度數。

    [解法]

    R=a*根號(bc) / (b+c)

    =>R2*(b+c)2=a2*(bc)

    =>R2*(b+c)2=(2RsinA)2*(bc)

    =>(b+c)2=4bc*(1-cos2A)

    =>(b-c)2= - 4bc*cos2A 小於等於0

    =>b-c=0,cosA=0

    =>b=c,∠A=90

    =>∠B=∠C=45

    2.試證:對任意的正整數n,{3+(5)^1/2}^n+{3-(5)^1/2}^n必為整數且是偶數。

    [證明]

    先證:『(3+√5)n=X+Y√5 若且唯若 (3-√5)n=X-Y√5,其中X,Y是整數』。

    上式很容易證明(用數學歸納法或二項式定理都可以)。

    則 (3+√5)n+(3-√5)n=2X=偶數

    第3題的S_n^2指的是(S_n)^2還是S_(n^2),還有後面的a_n^3的意思也是不清楚。

    2009-06-16 15:51:23 補充:

    有些符號湊在一起就會奇魔消掉

    還有現在連『度』都會被消掉,我記得以前不會啊

    2009-06-16 16:06:59 補充:

    老王兄的方法很妙,觀察規則→假設→證明

    不知道版主是不是也是這麼證的

    2009-06-16 22:30:41 補充:

    >接下來令S_(n+1)= a_(n+1){a_(n+1)+1} / 2 = S_n+a_(n+1)

    我的解法和版主你差不多,不過卡在上面這步

    >之後會解出a_(n+1)-a_n=1

    這步怎麼冒出來的呀!?

    2009-06-16 22:34:38 補充:

    >不過這邊是怎麼推演的可以講解一下嗎?

    >(1+2+...+k-1+a_k)^2=1^3+2^3+...+(k-1)^3+(a_k)^3

    >k(k-1)a_k+(a_k)^2=(a_k)^3

    1+2+...+(k-1)=(k-1)k/2,1^3+2^3+...+(k-1)^3=[(k-1)k/2]^2

    =>[(k-1)k/2 + a_k]^2=[(k-1)k/2]^2+(a_k)^3

    =>[(k-1)k/2]^2 + (k-1)k +(a_k)^2=[(k-1)k/2]^2+(a_k)^3

    =>(k-1)k +(a_k)^2=(a_k)^3

    2009-06-16 23:07:41 補充:

    原來如此,也謝謝你的講解。

    又學到一招了。

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