ShaBiSi 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

(數學)一元高次不等式的問題

今天在做一元高次不等式的題目時

發現一些問題

題目如下:

試解不等式

(x-1)^3.(x+2)+4x^2+4x-8 > 0

詳解上的步驟:

=> (x-1)^3.(x+2)+4(x^2+x-2) > 0

=> (x-1)(x+2).〔(x-1)^2+4〕> 0

接下來問題來了!!

詳解說

因為〔(x-1)^2+4〕恆正

所以(x-1)(x+2) >0

問題是

他說恆正

是把〔(x-1)^2+4〕乘開然後用 判別式<0,首相係數a>0

來判定嗎???

但是如果是這樣判斷

那(x-1)(x+2)也可以這樣判斷

(x-1)(x+2)也是>0

這樣它乘過去0那邊也不會變號

不過這樣兩次的範圍就不一樣了阿......

他是怎嚜判斷的???

很多題都有這種[問題

麻煩大大幫忙一下吧@@..

已更新項目:

但是題目沒有說(x-1)(x+2)=0阿@@

1 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    Q1. [(x-1)^2+4]恆正的理由。

    A1.

    因為對任何實數x,(x-1)^2都會大於等於0

    所以[(x-1)^2+4] 大於等於 4 >0

    因此[(x-1)^2+4]恆正

    當然,乘開再用判別式來判斷也可以得到同樣的結果,不過那顯然更麻煩。兩招配合使用,會使解題更有效率。

    Q2. 但是如果是這樣判斷,那(x-1)(x+2)也可以這樣判斷(x-1)(x+2)也是>0,這樣它乘過去0那邊也不會變號

    A2.

    (x-1)(x+2)的判別式是大於0的(因為已經確定(x-1)(x+2)=0有兩個相異實根了),所以並不會有恆正、恆負的問題 。

    2009-06-19 12:17:00 補充:

    用『(x-1)(x+2)=0』『有兩個相異實根』來判斷『(x-1)(x+2)』的『判別式>0』是一種特殊技巧。會比你把(x-1)(x+2)乘開後,再代判別式來得簡單很多。原理如下:

    一元二次方程式 ax^2+bx+c=0,判別式D=b^2-4ac

    D>0 <=> ax^2+bx+c=0有兩相異實根α、β <=> ax^2+bx+c可分解成a(x-α)(x-β)

    D=0 <=> ax^2+bx+c=0有兩相等實根α <=> ax^2+bx+c可分解成a(x-α)(x-α)

    所以只要知道可分解,那判別式就一定會大於0

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