龐胖
Lv 4
龐胖 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

代數求解。

已知x、y、z皆為實數,且滿足

(x² / y+z)+(y² / z+x)+(z² / x+y)= 0

(x / y+z)+(y / z+x)+(z / x+y)為多少?(二解)

有兩個解

4 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    版大您好:

    假設所求為R . 則首先,由

    0 = [x^2 / (y+z)] + [y^2 / (z+x)]+[z^2 / (x+y)]

     = x [ x / (y+z) ] + y [ y / (z+x) ] + z [ z / (x+y) ]

     = x [(x+y+z)/(y+z) - 1 ] + y [(x+y+z)/(z+x) -1 ] + z [(x+y+z)/(x+y) -1]

    故 (x+y+z) R = (x + y +z )

    所以 R = 1 , 或 x + y + z = 0

    當後者成立時 , x/(y+z) = y/(z+x) = z/(x+y) = -1 , 故得 R=-3 .

    To 煩惱即是菩提(知識長) 大大: 不好意思請問一下,您的第四行是不是也忘了括號? 還是我看錯?

    2009-08-31 16:08:01 補充:

    sorry , 我看成 [-x-p+p^2/(p-x)] 是分子同加減 p , 沒有想到是分在三個括號裡面 , 難怪我有點看不懂。

    參考資料: 基礎代數
  • 1 0 年前

    設x+y+z=p (不一定是常數)x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y) = 0

    x^2/(p-x)+y^2/(p-y)+z^2/(p-z) = 0

    [-x-p+p^2/(p-x)]+[-y-p+p^2/(p-y)]+[-z-p+p^2/(p-z)]=0

    -(x+y+z)- 3p + p^2[1/(p-x)+ 1/(p-y)+ 1/(p-z)]=0

    - 4p + p^2[ 1/(p-x)+...+1/(p-z)]=0

    p{- 4 + p[ 1/(p-x)+...+1/(p-z)]}=0 => p=0 or 1/(p-x)+1/(p-y)+1/(p-z)= 4/p

    2009-08-31 14:56:55 補充:

    case 1: p=0

    x+y+z=0

    x/(y+z)+ y/(z+x)+z/(x+y)= x/(-x)+ y/(-y)+z/(-z)= - 3

    case 2: 1/(p-x)+...+1/(p-z)= 4/p

    (x+y+z)/(y+z)+(x+y+z)/(z+x)+(x+y+z)/(x+y)= 4

    1+ x/(y+z) + 1+ y/(z+x)+ 1+ z/(x+y)= 4

    x/(y+z)+ y/(z+x)+ z/(x+y)= 1

    註: x^2/(y+z)與 (x^2/y+z)是不同的,

    板大程度不差,不應該犯這種錯誤!

    2009-08-31 15:00:52 補充:

    第四行:[-x-p+p^2/(p-x)]+[-y-p+p^2/(p-y)]+[-z-p+p^2/(p-z)]=0

    即[(-x-p)+p^2/(p-x)]+[(-y-p)+p^2/(p-y)]+[(-z-p)+p^2/(p-z)]=0

    先乘除後加減, so, 沒錯!

    SkyPenguin寫法較簡潔,因此刪除,列為意見!

  • 龐胖
    Lv 4
    1 0 年前

    y+z

  • 1 0 年前

    第一個括號裡的分母是y,還是y+z

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