chem 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

高一因數倍數問題共三題

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第一題

若19501,19909,20215均被自然數b除之於數均相同,則b之最大值為?答案102

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第二題

找一對為整數的m,n使得(4369,5911)=4369m+5911n。

答案m=-4,n=3

這題我算到257=1542-4369+2(5911-4369)之後

多出那個1542我就不知道怎麼解了

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第三題

設a為自然數,且a小於等於400,則符合此條件(a,120)=8的a值有幾個?答案27個

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其他:

若(x,60)|5且1小於等於x小於等於120,x為自然數,則共有幾個x?答案40個

這題我是先找出1~120中與60互質的數的個數,再找1~120中x與60的最大公因數為5的數的個數,兩個相加得到答案40個。

不知道有沒有更快的算法?就是不用一個一個去找的。

已更新項目:

TO 菜頭

第二題怪怪的...

2 個已更新項目:

沒關係 我已經懂了! 謝謝你^^

3 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    第一題用輾轉相除法(應該有教過唄)

    19501 = b * q1 + x

    19909 = b * q2 + x

    20215 = b * q3 + x

    由2式減1式 408 = b * (q2-q1)

    由3式減2式 306 = b * (q3-q2)

    b即為 408 和306 之最大公因數 即為102

    第二題

    由輾轉相除應該可知(4369,5911) = 257

    257 = 257*17*m + 257*23*n

    17m + 23n = 1 (題目說m,n皆為整數)

    所以 m = (1 - 23m) / 17 = (1-6m) / 17 - m

    算句話說 若m要是整數的話

    則 (1-6m)要為17的倍數 很直接的就可知道答案是 m = -3

    帶回去 n = 4

    第三題

    令a = 8*p 那p的範圍 介於 1 和 50 之間

    120 = 8 * 15 , 又(a ,120)= 8

    換句話說 p 和 15互質 (直接用寫的也可知道是27個)

    討論 p 在1到45之間

    和15互質的個數 為 45 *(2/3) * (4/5) = 24

    最後再加上 46 ,47 ,49 一共是27個

    2009-09-13 13:03:30 補充:

    其實阿~找互質這種東西,有個密技喔!!

    比如說你要找1~210中和60互質的數

    210 = 2 * 3 * 5 * 7

    60 = 2 * 2 * 3 * 5

    要和60互質換句話說 就是不能為 2 , 3 , 5 的倍數

    所以就在1~210中,去除2,3,5,的倍數,結果不就是210和60互質的數的個數嗎

    所以答案即為 210 * (1 - 1/2) * (1-1/3) * (1-1/5) = 56

    假如他題目是問 1~ 220中和60互質的數

    那就拆成兩部來看 1~210用上面的方法 211~220直接眼睛判斷

    這樣應該會比較快

    2009-09-13 13:45:50 補充:

    拍謝 我眼殘 (1-6m)要是17的倍數 m應該是3才對XD

  • 匿名使用者
    6 年前

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  • 匿名使用者
    6 年前

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