nemesis 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

高微習題題目 求救

Let f(x)=x if x is rational, f(x)=0 if x is irrational,

Show that f is continous at x=0 and nowhere else.

中英文的証明

1 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    f 只在x=0 時連續

    被給定的ε>0, 取δ=ε, 則當|x-0|=|x|<δ

    |f(x)-f(0)|=|0-0|<ε if x is irrational

    and |f(x)-f(0)|=|x-0|<δ=ε if x is rational

    故 f 在 x=0 連續

    假設 x≠0 f 在 x 點連續 則對於所有 收斂到 x 的數列 x_n, f(x_n)會收斂到f(x)

    當 x is rational, 取 無理數數列x_n, x_n->x

    但f(x_n)=0 for all n,limf(x_n)=0≠x=f(x)

    當 x is irrational, 取有理數數列 y_n y_n->x 則f(y_n)=y_n->x≠0=f(x)

    縱合以上所述 f 只在x =0

    2009-10-01 16:45:23 補充:

    連續

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