阿柏 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

高中歸納法/遞回定律 證明題 2題1

1.自然數n ,試證 1+1/2+1/3+.......+1/n >= 2n/(n+1)

2:(1)自然數n,試證 1/(1^2)+1/(2^2)+........+1/n^2 <= 2-(1/n)

(2) 利用(1)證明 1/(1^2)+1/(3^2)+..........+1/[(2n+1)^2] < 3/2-1/(4n)

以上我不知如何證明,請前輩指導!

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不好意思亂碼

1:1.自然數n ,試證 1+1/2+1/3+.......+1/n 大於等於 2n/(n+1)

2:1)自然數n,試證 1/(1^2)+1/(2^2)+........+1/n^2 小於等於2-(1/n)

(2) 利用(1)證明 1/(1^2)+1/(3^2)+..........+1/[(2n+1)^2] 小於 3/2-1/(4n)

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1.自然數n ,試證 1+1/2+1/3+.......+1/n ≧ 2n/(n+1)

2:(1)自然數n,試證 1/(1^2)+1/(2^2)+........+1/n^2 ≦ 2-(1/n)

(2) 利用(1)證明 1/(1^2)+1/(3^2)+..........+1/[(2n+1)^2] < 3/2-1/(4n)

3 個已更新項目:

真的不好意思,用別的方法還市亂碼,請前輩看大於等於....,謝謝!

1 個解答

評分
  • 釋塵
    Lv 7
    1 0 年前
    最佳解答

    1.

    當n = 1時,左式 = 1,右式 =1,原式成立

    假設當n =k時,原式成立

    則1+1/2+1/3+.......+1/k >=2k/(k+1)

    當n = k+1時

    1+1/2+1/3+.......+1/k +1/(k+1) >= 2k/(k+1) + 1/(k+1)

    1+1/2+1/3+.......+1/k +1/(k+1)

    >= 2 –1/(k+1)

    > 2 – 1/(k+2) = (2k+3) /(k+2)

    > 2(k+1)/(k+2),原式成立

    所以對於所有屬於自然數的n, 1+1/2+1/3+.......+1/n 大於等於 2n/(n+1)恆成立

    2.

    當n=1時,左式 =1,右式 = 1,原式成立

    假設當n=k時,原式成立

    則1/(1^2)+1/(2^2)+........+1/k^2 小於等於2-(1/k)

    當n =k+1時

    1/(1^2)+1/(2^2)+........+1/k^2 + 1/(k+1)^2

    <= 2-(1/k) + 1/(k+1)^2

    < 2- (k^2 +k+1)/k(k+1)

    <2 –1/(k+1),原式成立

    所以對於所有屬於自然數的n, 1/(1^2)+1/(2^2)+........+1/n^2 小於等於2-(1/n)恆成立

    3.

    1/(1^2)+1/(3^2)+..........+1/[(2n+1)^2]

    ={1/(1^2)+1/(2^2)+........+1/(2n+1)^2} – {1/2^2 + 1/4^2 +…………+1/(2n)^2}

    ={1/(1^2)+1/(2^2)+........+1/(2n+1)^2} – (1/4)*{1/1^2 + 1/2^2 + ………+1/n^2}

    <2 – 1/(2n+1) – (1/4)*[2 – 1/n]

    =(3/2) -1/(2n+1) + 1/(4n)

    =(3/2) – (2n-1)/[4n(2n+1)]

    <(3/2) – 1/(4n)……………(解答)

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