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靜夜 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

一題高一多項式的多選題~大大請進

已知f(x)為4次多項式且f(x)=0恰有2個相異正實數解,則下列敘述何著正確?

(A)f(-x)=0至少有兩個相異實數解

(B)f(1/x)=0至少有2個相異實數解

(C)f(x^2)=0恰有4個相異實數解

(D)f(x^2+1)=0恰有4個相異實數解

(E)f(x+(1/x))=0至少有4個相異實數解

答案是(A)(B)(C)

我想知道詳解...希望各位大大告訴我為什麼

3 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    f(x)為4次多項式且f(x)=0恰有2個相異正實數解 A及B; A,B > 0

    (A)f(-x)=0至少有兩個相異實數解, 其中兩個為-A及-B

    (B)f(1/x)=0至少有2個相異實數解, 其中兩個為1/A及1/B

    (C)f(x^2)=0恰有4個相異實數解

    x^2 的兩個正實數解A及B, x的四個實數解為+/-√A及+/-√B

    x^2 的其他兩解可能是負實數或複數,開方後都是複數

    (D)f(x^2+1)=0

    x^2 + 1的兩個正實數解A及B,

    x^2 + 1 = A => x^2 = A - 1因A可能小於1,開方後可以是複數

    B同理

    x^2 + 1的其他兩解可能是負實數或複數,開方後都是複數

    分析後x一定會是複數

    (E)f(x+(1/x))=0

    x+1/x = A => x^2 - Ax +1 = 0,判別式 A^2 - 1可以是小於0,x的解不一定是實數

    B同理

    x+1/x的另外二根未明確,無法決定分析後x的解

  • 1 0 年前

    這題不難喔!

    題目說f(x)=0恰有2個相異正實根,不妨令a,b>0為f(x)=0的兩相異正實根。

    顯然,-a,-b為f(-x)的兩相異實根,所以(A)正確。

    而1/a,1/b為f(1/x)=0的兩相異實根,所以(B)正確。

    正負根號a,正負根號b為f(x^2)=0的4個實根,且f(x)為4次多項式,那麼f(x^2)=0恰有4個相異實數解。

    至於(D),題目說f(x)=0恰有2個相異正實根,所以另外兩個根一定是虛數,如果f(x^2+1)=0,此時有種可能是x^2+1為某個虛數,此時x不可能為實數,所以(D)不正確。

    最後(E),如果f(x+(1/x))=0,此時有種可能是x+(1/x)=a,兩邊乘上x可得

    x^2-ax+1=0,解它!(雖然增根,但那不重要!),不難看出它不一定有實數解,所以(E)也是不正確的。

    參考資料: Me
  • ?
    Lv 6
    1 0 年前

    恰有2個相異正實數解,則可設f(x)=(x-a)(x-b)(cx^2+dx+e)=0

    f(-x)=(-x-a)(-x-b)(cx^2-dx+e)=0 x最少=-a ,-b

    f(1/x)=(1/x-a)(1/x-b)(c/x^2+d/x+e)=0 x最少=1/a 1/b

    f(x^2)=(x^2-a)(x^2-b)(cx^4+dx^2+e)=0

    x=+-a^0.5, +-b^0.5

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