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Lv 4
? 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

微積分期中考題,極限與可微分性

(1)如果下述的極限值存在,請計算出來,若不存在請解釋為什麼不存在

 (i)lim[x→0] (1 + |sinx|)^(1/x)

 (ii)lim[x→0] [(2^x + 3^x + 5^x)/3]^(1/x) ( 我算出來是30^(1/3),對嗎? )

(2) H(x) = { e^(1/x),if x<0

      { m  ,if x=0

      {asinx + bcosx + cx,if x>0

請說明m、a、b、c要符合什麼條件,分別可以滿足下列的要求(三小提不相干)

 (i) H(x) 在所有地方皆連續

 (ii) 若 H(x) 在所有地方皆可微分

 (iii) H(x) 在 x=0 處有反曲點

( (i)小題我算出來是 m=b=0,a,c屬於R,對嗎? )

已更新項目:

(1)的(i)我剛剛算出右極限是e,左極限是1/e,恩看樣子是不存在。

至於(ii)我不認為它不存在,它左右極限應該相等,而且這題沒有絕對值或高斯記號,也不是合成函數,應該沒有必要分成左右極限來討論。

(2)的(ii)我算出來了。

至於(iii),如果某個點是反曲點,那麼函數在這一點應該沒有一定要可微分,只要在這點連續 ( 事實上我也不是很確定有沒有一定要連續 ),而且在這點的左右兩邊函數圖形凹向相反就好了。而且e^(1/x)在0左邊附近的凹向應該算的出來,那麼a是正是負就很有關係了。

2 個已更新項目:

【且e^(1/x)在0左邊附近的凹向應該算的出來,那麼a是正是負就很有關係了。】

這句請忽略它= =我剛沒仔細看......原來你有寫到了

2 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    因為是期中考題,所以給出以下提示,希望您能自行練習,把這兩題解開!

    若有錯誤,也請告知。謝謝。

    (1)(i) 不存在!

         請自行考慮左、右極限(絕對值就可輕易拿掉,並用取log再取exp的技

         巧。)

       (ii) 不在在!

         請自行考慮左、右極限。

    (2)(i) 您算對了!

       (ii) m=b=0 a=-c

         Hint:利用(i)的結果,再分別考慮左右導數,我們需要左導數等於右導

         數。

       (iii) Hint:將H小於0、大於0的情況分別算至二次導數,也不難算出H在0這

         點的二次導數為0,接下來仔細考查x從左邊靠近0時,它的二次導數是正

         的,所以a&gt;0,當然,m=b=0 a=-c。

    2009-11-14 18:32:43 補充:

    最後一行的>是大於的意思。

    2009-11-19 17:02:59 補充:

    (1)(ii)

    這是我上次算錯了!

    原波算的沒錯,答案是30^(1/3)

    參考資料: , 自己驗算
  • 1 0 年前

    1.(ii) 沒算錯,辦法都是老一套,先取 ln,用 L'Hopital Rule 即可。

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