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彥興 彥興 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

高一數學題目 無窮級數 急~

1/1 + 1/1+2 + 1/1+2+3 +1/1+2+3+...+n + ...之合為S . 前n項和為Sn .

求 S - Sn < 1/100 之最小自然數n=? 答案是200 不過不知道算法..麻煩大家幫幫忙!!

已更新項目:

S - Sn 小於1/100

2 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    Sn=1/1+ 1/(1+2)+ 1/(1+2+3)+...+ 1/(1+...+n)

    →Sn=1/[(1+1)*1/ 2]+ 1/[(1+2)*2/ 2]+...+ 1/[(1+n)*n/ 2]

    →Sn=2/(1*2)+ 2/(2*3)+ 2/(3*4)+...+ 2/(n*n+1)

    →Sn=2[1/(1*2)+ 1/(2*3)+ 1/(3*4)+...+ 1/(n*n+1)]

    →Sn=2[(1-1/2)+ (1/2- 1/3)+ (1/3- 1/4)+...+ (1/n- 1/n+1)]

    →分向對消結果得:Sn=2[1- (1/n+1)]

    而已知S=2 說明:S= limit_n→∞[Sn]

    所求S- Sn=2/n+1<1/100,故得最小自然數n=200

    參考資料: 自己
  • 1 0 年前

    原式的每一項可表示為1/Σk

    =1 / [(n(n+1)/2)

    =2/ n(n+1)

    =2[1/n − 1/(n+1)]

    即a1=2(1/1 − 1/2)=1

    a2=2(1/2 − 1/3)=1/3

    所以S=2(1/1 − 1/2)+2(1/2 − 1/3)+2(1/3 − 1/4)+…

    =2(1/1 − 1/2 + 1/2 − 1/3 + 1/3 − 1/4+…)

    =2*1/1=2

    Sn=2(1/1 − 1/2)+2(1/2 − 1/3)+2(1/3 − 1/4)+…+2[1/n − 1/(n+1)]

    =2[1/1 − 1/2 + 1/2 − 1/3 + 1/3 − 1/4+…+1/n − 1/(n+1)]

    =2[1/1 − 1/(n+1)]

    =2n/(n+1)

    S−Sn=2− 2n/(n+1)<1/100

    所以n/(n+1)>1− 1/200=199/200

    故n>199

    因此n最小值是200

    參考資料: 自己
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