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克勞棣 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

如何證明平行四邊形面積=底*高?

圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/AB00183634/o/1609111501...

以前課本的教法都是把平行四邊形切割、重新組合成一個長、寬

分別等於平行四邊形底、高的長方形,

所以平行四邊形面積=長方形面積=長*寬=底*高,如上圖的小圖。

那麼下面的藍色平行四邊形ABCD,又該如何切割、重新組合成一個長、寬

分別等於其底CD與高AE的長方形呢?

已更新項目:

如果很難切割組合的話,課本怎麼從來沒提過這件事呢?

課本似乎暗示學生,每個平行四邊形都只要切一次就可以變成長方形,沒有例外。

為什麼課本的證明會不完整呢?

明明「長*寬=底*高」並不總是一件顯而易見的事情..........

(先要看得到長方形,才有所謂長、寬吧?)

2 個已更新項目:

硬要切,似乎還是切得出來的ㄝ......

連一點渣渣都不剩.......

http://photo.pchome.com.tw/cloudyma/125828900985

9 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    [切法1]

    可以適當地複製n個(此題圖形,n=4即可)藍色的平行四邊形,拚在一起,

    使其變成底=n*CD,高=AE的平行四邊形

    並使新平行四邊形可以透過切割、重組,變成長=n*CD,高=AE的長方形

    則新平行四邊形面積 = 長方形面積 = (n*CD)*(AE) = n *(CD*AE)

    再根據直覺可知,新平行四邊形面積 就是 n個藍色平行四邊形面積

    所以 藍色平行四邊形面積 = CD*AE

    [切法2] 較不適合實作,適合用想的

    另外,也可以用橫向切成許多的細長條,讓每個細長條都是個可切割成長方形的平行四邊形,再把重組後的長方形疊起來,一樣可以得到底=CD,高=AE的長方形。

    我覺得課本是希望給小朋友一個直觀的認識--為什麼平行四邊形面積=底*高,所以才使用切割的方法來"說明"。

    如果是嚴謹的"證明",我想很容易會讓小朋友心生畏懼,打消學習數學的熱忱。

    這個階段的學習,應該是訴諸直覺的階段,所以只要培養小朋友們的數學直覺即可。

    2009-11-15 09:07:18 補充:

    [切法3]

    過B垂直CE於F。

    平行四邊形ABCD面積

    = (△BCF面積 + 長方形ABFE面積) - △ADE面積

    因為△BCF和△ADE等高

    而△BCF的底 = CF = CE - FE = CE - AB = CE - CD = DE = △ADE的高

    所以△BCF = △ADE

    ∴ 平行四邊形ABCD面積 = 長方形ABFE面積

    2009-11-15 09:20:36 補充:

    Jason 大 的證明過程中並沒有使用到梯形面積公式,只提到補一個梯形拚成矩形,我想並沒有犯循環論證的錯誤。

    P.S.: 不過只補△就好,會更簡潔

    2009-11-15 21:07:15 補充:

    (預設)命題1:長方形面積=長*寬  →這應該是對面積的定義吧!?

    (預設)命題2:直角△面積=(1/2)*底*高

    →可由命題1得到(直角△面積=長方形面積的一半)

    命題3:非直角△面積=(1/2)*底*高

    →可由命題2得到(可切割成兩個直角△的面積和或差)

    命題4:平行四邊形面積=底*高

    →可由命題3直接得到,但命題3較不直觀,所以(我猜想)課本才會以命題1來證明命題4吧!? (不過這麼說來,切法3就不太適當,步驟太複雜,不怎麼直觀)

    2009-11-15 21:07:36 補充:

    我想李大師目前是預設已知命題1和命題2,要證命題4吧!?

    至於命題3可以看成命題4的等價命題,在本題討論範圍,先不管它,是這樣吧!?

    本題的目的,主要是圍繞在讓所有的平行四邊形都能切成長方形吧

    2009-11-15 21:09:10 補充:

    更正:△BCF的底 = CF = CE - FE = CE - AB = CE - CD = DE = △ADE的"底"

    因為這兩個△很明顯是直角△,所以我就沒特別強調了。

    2009-11-15 21:16:41 補充:

    我看過http://photo.pchome.com.tw/cloudyma/125828900985 的切法了。

    不過我比較喜歡我切法2的小黃瓜切片法,只要每一段都切成像黃色平行四邊形那種已經確定可以重組成長方形的平行四邊形(只要切的夠薄就行),最後疊起來就變成等面積的長方形了。

    2009-11-16 18:08:52 補充:

    我意見裡說的的確是『切的夠薄』啊

    2009-11-18 23:58:12 補充:

    只要切完的厚度能讓切完的平行四邊形像黃色平行四邊那樣分割就好了。

    像一開始那樣對平行四邊形面積公式的說明,只是概括性的認識,充其量只能稱為"說明",不能稱之為"證明"。

    若要兼顧數學上的嚴謹性,以及認知上的直觀性,或許可以放在選修數學的教材或是課本後面的附錄裡,也許會比較可行吧!?

  • 匿名使用者
    7 年前

    到下面的網址看看吧

    ▶▶http://*****/

  • 匿名使用者
    7 年前

    到下面的網址看看吧

    ▶▶http://candy5660601.pixnet.net/blog

  • 1 0 年前

    其實不只平行四邊形有以上的情況,就例如「任意凸多邊形的外角和都是360度」,試問會不會找到一本教科書詳細到「畫一個開口的多邊形(因為這才是任意多邊形),試數個未知數的內角和外角,繼而從內角和證明至外角和」(注意:這才是最標準的證明方法)?

    答案肯定是「沒有」。有些教科書只表達「任意凸多邊形的外角和都是360度」就算,完全沒有證明。而有些教科書雖然是有「證明」,但是它所謂的「證明」,都只是「例子當證明」,即是畫一個有限邊數的多邊形,設一些實數的角度,然後把所有外角的角度加起計算出360度就算「證明」。

    2009-11-17 06:34:20 補充:

    不只是小學課程,就連中學課程都有例子。在此舉一個香港的應用數學(即是台灣的工程數學)的例子,就是變數可分離型微分方程的解法。解法當然沒有問題,但是該解法是怎樣找出來,其實只是在http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qi...

    2009-11-17 06:49:28 補充:

    課本有沒有義務告訴學生,那種平行四邊形只能代表"部分"的平行四邊形,並不是每個平行四邊形都能這樣切?

    不好意思,課本只需對「課程」有義務地負責,絕不需對「學生」有義務地負責。就好像「國家對國民只要求要「愛國」,絕對沒有要求要「學習知識」」一樣。

    2009-11-17 06:58:15 補充:

    所以,你如果需要課本改變,就一定需要改變課程,或是需要自行出課本,即是推廣「克勞棣愛養鴨王子李子達之教育法」。

    這樣是否成功?相信很快就過不到「家長」那關。須知道「家長」某程度上其實與「潑婦」沒有分別,課程教少了當然會「投訴」,但課程教多了亦一樣會「投訴」,其實最終受害的是子女,即是我們。

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  • 1 0 年前

    各位大師好!!

    感謝各位的批評與指教 謝謝!!

    我的證明實在有所疏漏

    實在不堪一提

    我看就不需要再 班門弄斧

    早早刪去為妙

    謝謝 感激不盡

  • 1 0 年前

    以前的証明不就是直接【分成二個全等三角形】,不就顯而易見嗎?!

    其他的証明反而並不是那麼多【老師】在使用吧!

    (我的教學經驗)

    就是您所說的,用拼成【長方形】的方式,不是都容易解釋,或顯而易見的。

    2009-11-16 12:05:38 補充:

    切成二個三角形後,只要證明【三角形面積=底*高/2】就形了!

    面積的歷史:

    【定義 1*1 的正方形面積為 1】

    ---> n*m 的矩型面積 = n*m (因為可以切割成 n*m 塊 1*1 的正方形)

    --> 二股為 n、m 的直角三角形面積 = n*m/2 (二個可拼成 n*m 矩形)

    --> 任意底 n 高 m 的三角形面積 = n*m/2 (可切割成二個直角三角形的和或差)

    --> 應用到【平行四邊形】、【梯形】、【平行四邊形】、【鳶型】、....的面積

  • 1 0 年前

    我想 把它倒下來就好了吧!?

    AD當底

  • 1 0 年前

    因為它是底。

    難道CD當底,公式會有例外嗎?

    2009-11-15 08:31:29 補充:

    目前的兩位回答者,請不要犯循環論證的問題。

    三角形與梯形的面積公式是怎麼來的呢?

    不正是"半個平行四邊形"的面積嗎?

    不過,有直角的話另當別論。

    2009-11-15 10:44:39 補充:

    所以我說有直角的話另當別論啊!

    不過,矩形難道不是平行四邊形??

    所以Jason大應該說"拼出來的是矩形而不是'一般的'平行四邊形",

    這類的平行四邊形面積不僅是(底*高),且還是(長*寬),不必切。

    2009-11-15 10:58:47 補充:

    所以我思大也應該強調△BCF和△ADE都是"直角"三角形,

    不然同底同高的兩個三角形面積為何會相等???

    話說回來,△BCF的底=.......=△ADE的高?

    2009-11-15 20:07:17 補充:

    分成二個全等三角形

    可是然後呢?三角形面積怎麼求呢?又為什麼要這樣求呢?

    2009-11-15 23:49:22 補充:

    只要每一段都切成像黃色平行四邊形那種已經確定可以重組成長方形的平行四邊形(只要切的夠薄就行)

    為什麼要切很薄呢?

    2009-11-17 00:39:49 補充:

    我知道啊!

    所以我覺得很奇怪,

    切厚一點不行嗎?為什麼要切很薄呢?

    2009-11-17 00:46:29 補充:

    最重要的是,為什麼一定要切成長方形呢?

    如你補充回答所說的,由命題1、命題2、命題3,演變到命題4,不是很好嗎?

    如果由命題1直接跳到命題4,這又不一定能一刀切出來,

    所以我對這樣的教學很不服氣,我國小(或國一?)課本就是這樣畫的,

    不知現在改了沒有?

    好!就算不夠直觀好了,課本有沒有義務告訴學生,那種平行四邊形只能代表"部分"的平行四邊形,並不是每個平行四邊形都能這樣切?

    課本有沒有告訴學生,平行四邊形的高的垂足可能位在"底邊外"?

    (過A點的高,與過B點的高,垂足皆在底邊BC之外,兩條都沒有落在BC內)

    我的學習經驗是沒有,所以我不服氣。

  • 1 0 年前

    大大你好

    平行四邊形的標準特徵: ●兩邊分別等常與平行●

    長方形有符合道平行四邊形得條件

    所以可以說長方形也是平行四邊形的一種

    但是平行四邊形並不是長方形的一種

    每個長方形只要切一次就可以變平行四邊形,沒有例外~才對

    每個平行四邊形都只要切一次就可以變成長方形,是有例外。

    如果要明顯易見的話....平行四邊形是兩個全等三角形組合成的

    {任何平行四邊形~任一對角相連~即可分成兩塊想等的三角形}

    平行四邊形面積

    = 三角型 X2 = 【底X高】 除 二 X 2

    =【底X高】

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