snow 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

高等微積分

以P表示偏微分符號

For x=(x,y,z) 屬於 R^3 \ {0} , and t 屬於 R, let F(x,t)=(r^-1)*g(ct-r),where c is constant, g is a C^2 function of one variable, and r= lxl ,

show that Px^2F +Py^2F +Pz^2F =(c^-2)Pt^2F .

煩請高手解題 謝謝

2 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    重新敘述這個問題: 令F(x,t)=(1/r)*g(ct-r),其中x=(x,y,z)屬於 R^3 \ {0},t 屬於 R,r= lxl , c is constant, and g is a C^2 function of one variable. 欲證明F(x,t)滿足三度空間的波動方程式F_xx+F_yy+F_zz=(1/c^2)F_tt.--- (E1)

    方程式(E)的左邊F_xx+F_yy+F_zz是拉普拉斯算子運用到F(x,y,z), a function of 3-D rectangular coordinates. 當F(x,t)=(1/r)*g(ct-r)時我們發現F在三度空間上是軸對稱radially symmetric的函數, 極適合用球座標來處理,因為拉普拉斯算子運用到f(r), a function of r only時就成了 f_rr+(2/r)*f_r. [這是一個變數變換(x,y,z)-->(r, theta, phi)下的基本習題] 重點在於將(1/r)*g(ct-r)視為 f(r,t)後,要驗證的將成為 : 是否 f(r,t)滿足波動方程式 f_rr+(2/r)*f_r = (1/c^2)f_tt ? ---(E2)

    簡單的計算得到: f =(1/r)*g ==> f_r=(-1/r^2)*g+(-1/r)*g; f_rr=(2/r^3)*g+(2/r^2)*g'+(1/r)*g"; f_tt=(c^2/r)*g". 故得到 (E2) 的左邊= (1/r)*g"=右邊. QED

  • 易霈
    Lv 7
    1 0 年前

    剛進入學校真的覺得微積分不好學

    常常不能馬上理解老師的課程內容,後來用了勝考力的dvd學習

    利用課後的時間學習,成績也提高不少^^

    對於先修或者以後的研究所考試都有很大的幫助

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