嗚呼! 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

有關定積分定義的問題,20點奉上。

用定積分求多項式函數f(x)的圖形與直線y=0,x=a及x=b所圍成的面積時,

如果在區間[a,b]上f(x)≤0,

則f(x)的圖形與直線y=0,x=a及x=b所圍出的區域面積為-∫f(x)dx|(a,b),

而定積分原來的定義不就是用黎曼和求區域範圍內函數與x軸的面積嗎?

那為什麼求∫(3x^2-2x-1)dx|(-1,3)或其他類似題目的值時,

可以直接化成(x^3-2x^2-x)|(-1,3)這樣算呢?

為什麼不用另外畫圖求出範圍內f(x)≤0的部分加負號呢?

剛開始學積分,整個都搞糊塗了,大大們快來為我詳細解說吧><!

嗯,希望大大們看得懂我在講什麼T_T

另外,數學符號在電腦上看起來都和原來長得不大一樣,

希望我打的符號都是對的*_*

已更新項目:

所以說,求

∫(3x^2-2x-1)dx|(-1,3)及f(x)=3x^2-2x-1的圖形與直線y=0,x=-1及x=3所圍出的區域面積,

是不一樣的兩回事囉?

一個是定積分值,一個是函數與x軸所圍成的面積,

而定積分值指的是f(x)與x軸在x軸上方所圍成的面積???

2 個已更新項目:

所以意思是說,

∫(3x^2-2x-1)dx|(-1,3)及f(x)=3x^2-2x-1的圖形與直線y=0,x=-1及x=3所圍出的區域面積,

是在求同樣的東西?

也就是說,

(x^3-2x^2-x)|(-1,3)算出來的值會等於

∫(3x^2-2x-1)dx|(-1,-1/3)+∫(3x^2-2x-1)dx|(1,3)-∫(3x^2-2x-1)dx|(-1/3,1)的值嗎?

2 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    為什麼求∫(3x^2-2x-1)dx|(-1,3)或其他類似題目的值時,

    可以直接化成(x^3-2x^2-x)|(-1,3)這樣算呢?

    為什麼不用另外畫圖求出範圍內f(x)≤0的部分加負號呢?

    解答:

    每題都用黎曼和,求定積分所代表的面積值

    實在是太複雜,又不好計算

    還有自然界存在有-----"微積分基本定理"

    大幅化簡,定積分求面積的問題

    微積分基本定理

    設f(x)為閉區間[a,b]上的一個連續函數,

    而F(x)是f(x)的一個反導函數則可得

    ∫[a,b] f(x) dx=F(b)-F(a)

    此基本定理所代表的幾何意義是

    曲線下與x軸所圍成的面積,所成的函數

    即為此曲線函數的反導函數

    所以∫[-1,3] (3x^2-2x-1) dx=(x^3-2x^2-x)|(-1,3)

    定積分算出來,就是f(x)=3x^2-2x-1與x=-1,x=3,x軸

    所圍成的面積

    比算黎曼和快多了

    2010-04-18 22:57:59 補充:

    f(x)=3x^2-2x-1的頂點在(1/3,-4/3)開口向上

    與x軸的交點為(-1/3,0),(1,0)

    所以定積分∫[-1,3] (3x^2-2x-1) dx=x^3-x^2-xl[-1,3]

    =[27-9-3]-[-1-1+1]=15-[-1]=16

    是x軸上方的面積減去在x軸下方的面積

    如果圖形的面積在 x軸的下方,定積分的值是負的,取絕對值即為其面積

    如果圖形的面積在 x軸的上方,定積分的值是正的,也就是其面積值

    2010-04-18 22:59:09 補充:

    計算定積分事實上就是在求面積或體積

    2010-04-18 23:00:12 補充:

    f(x)=3x^2-2x-1的頂點在(1/3,-4/3)開口向上

    與x軸的交點為(-1/3,0),(1,0)

    所以定積分∫[-1,3] (3x^2-2x-1) dx=x^3-x^2-xl[-1,3]

    =[27-9-3]-[-1-1+1]=15-[-1]=16

    是x軸上方的面積減去在x軸下方的面積

    如果圖形的面積在 x軸的下方,定積分的值是負的,取絕對值即為其面積

    如果圖形的面積在 x軸的上方,定積分的值是正的,也就是其面積值

    2010-04-18 22:59:10 補充

    計算定積分事實上就是在求面積或體積

  • linch
    Lv 7
    1 0 年前

    這樣說好了

    而我們在求函數 y = f(x) >= 0 在 x=a, x=b 與 x 軸圍成的面積時

    是有限定 y = f(x) >= 0 的

    而我們將求面積的概念推廣到一般的函數

    而有了黎曼和

    黎曼和的寫法是

    lim_{n->∞} Σ{ i = 1~n} f(xi) △x

    =lim_{n->∞} ( f(x1)△x + f(x2)△x + ... + f(xn)△x)

    在這裡是指 "函數值" 與 分割的長度相乘

    並不一定是指面積

    2010-04-19 00:29:26 補充:

    所以當函數 y = f(x) >= 0 在 x=a, x=b 與 x 軸圍成的面積

    因為函數都為正,所以黎曼和與面積是一樣的

    所以才會說定積分等於面積

    而當函數 y = f(x) <= 0 時我們可以利用對稱的概念

    將函數與 y 軸對稱到 y = - f(x)

    所以我們會說面積是 - f(x) 在 x=a, x=b 之間的定積分

    2010-04-19 00:34:00 補充:

    所以若要用面積去說明定積分

    則 f (x) 定積分的值為

    f (x) >= 0 的部分與 x 軸圍成之面積 減去 f (x) <= 0 的部分與 x 軸圍成之面積

    記住:面積求出來必是正的,但是定積分求出來未必是正的

還有問題?馬上發問,尋求解答。