表哥 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

高三自然組數學微積分一題

設曲線C1:y=(1/2)x^2、C2:y=-x^2+ax+b通過(1,2),若C1、C2所圍成之區域面積為S,則當S為最小時,求a、b、S之值。

1 個解答

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  • 天助
    Lv 7
    1 0 年前
    最佳解答

    1. (預備性質)設拋物線 y=-x^2+px+q與x軸有兩交點,且相距=L,

    則拋物線與x軸所圍面積=L^3/6

    pf. 取適當坐標,設拋物線為 y=x(L-x), 則

    面積=∫[0~L} x(L-x)dx= (3Lx^2-2x^3)/6 代x=0~L得 L^3/6

    2. 本題

    y=-x^2+ax+b過點(1,2),then a+b=3 (b=3-a)

    y=-x^2+ax+b與y=x^2/2聯立(求交點),得

    -1.5x^2+ax+b=0, 設兩根為p, q (p<q), 則

    p+q=2a/3, pq=-2b/3 -----(A)

    曲線所圍面積S=∫[p~q] (-1.5x^2+ax+b) dx

    = (3/2)∫[p~q] (-x^2+ 2ax/3+ 2b/3) dx

    = (3/2)*(q-p)^3/6 (由上述預備性質知)

    =(1/4) (q-p)^3

    故求(q-p)^2最小時即可解本題

    而(q-p)^2=(p+q)^2-4pq=(2a/3)^2+8b/3

    =4a^2/9+8/3(3-a)= (2a/3 -2)^2+4

    so, a=3時, (q-p)^2最小=4, S=(1/4)(q-p)^3= 2

    Ans: a=3, b=3-a=0, S=2

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