Tom 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

一些微積分的問題

試求下列各積分

(1) ∫ 1,0) xInxdx

(2) ∫(∞,0) x(e^-x)dx

(3) ∫ [(x-2)/(x^3+2x^2+x)]dx

(4) ∫ [(2x-x^2) ^(1/2)]dx

已更新項目:

第一題為

∫(1,0) xInxdx

2 個已更新項目:

第四題為 ∫ (根號2x-x^2)dx

3 個已更新項目:

第四題還是和原先的問題一樣 之後的補充打錯了!

就是根號(2x-x^2)

4 個已更新項目:

你第四題還沒算出來!

3 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    (1)

    分部積分法

    ∫(1,0) xInxdx

    = x^2*lnx - ∫xdx

    = x^2*lnx - x^2/2 |(1,0)

    = x^2*(lnx-1/2) |(1,0)

    = -1/2 - 0

    = -1/2

    (2)

    分部積分法,瑕積分

    lim(t→∞) ∫(t,0) x(e^-x)dx

    = lim(t→∞) [-xe^(-x) - ∫ -e^(-x)dx]

    = lim(t→∞) [-xe^(-x) - e^(-x) | (t,0)]

    = lim(t→∞) [-e^(-x)(x+1) | (t,0)]

    = lim(t→∞) [-e^(-t)(t+1) + 1]

    = lim(t→∞) [-(t+1)/e^t + 1]

    = lim(t→∞) [-1/e^t + 1]

    =1

    (3)

    部分分式

    ∫ [(x-2)/(x^3+2x^2+x)]dx

    =∫ [(x-2)/(x(x+1)^2)]dx

    部分分式過程:

    (x-2)/(x(x+1)^2) = A/x + (Bx+C)/(x+1)^2

    x-2 = A(x+1)^2 + (Bx+C)x

    x=0 A=-2

    由於... 左邊沒有 x^2項

    所以 A + B = 0 ,B=2

    x = -4x +Cx , C=5

    >>

    =∫ [(x-2)/(x(x+1)^2)]dx

    =-∫ 2/x dx + ∫ (2x+5)/(x+1)^2 dx 分部積分法

    =-2lnx -(2x+5)(x+1)^(-1) + 2∫1/(x+1) dx

    =-2lnx +2ln(x+1) - (2x+5)(x+1)^(-1)

    (4)

    ∫ [(2x-x^2) ^(1/2)]dx

    2010-04-25 18:30:41 補充:

    這位發問大哥= =

    第四題到底是??

    兩個可是差很多呢

    2010-04-25 22:55:13 補充:

    Kittor

    linch

    我有加 1/2丫

    2010-04-25 22:56:09 補充:

    阿! SORRY~~ 哈哈!! 忘記前面的XD

    2010-04-25 22:57:46 補充:

    不好意思,改內容

    (1)

    分部積分法

    ∫(1,0) xInxdx

    = (x^2*lnx)/2 - ∫xdx

    = (x^2*lnx)/2 - (x^2)/2 |(1,0)

    = (x^2)/2*(lnx-1) |(1,0)

    = -1/2 - 0

    = -1/2

    2010-04-26 20:20:09 補充:

    第四題我不會~"~ sorry~

  • linch
    Lv 7
    1 0 年前

    沒錯第一題少了 1/2

    dv = x dx ==> v = x^2/2

    2010-04-26 02:09:53 補充:

    後面的 1/2 沒補上

    ∫ xInxdx

    = (x^2*lnx)/2 - ∫ x/2 dx

    = (x^2*lnx)/2 - (x^2)/4 + C

    答案是 - 1/4

    2010-04-26 02:14:16 補充:

    4. [(x - 1)√(2x - x^2) + arcsin (x-1) ] / 2

    2010-04-29 02:07:53 補充:

    4. √(2x-x^2) = √[1-(1-2x+x^2)] =√[1-(x-1)^2]

    令 x-1 = sin t, dx = cos t dt

    √[1-(x-1)^2] = cos t

    ∫ √(2x-x^2) dx = ∫ cos^2 t dt = ∫ (1+cos 2t)/2 dt = t/2 + (sin 2t)/4 + C

    = t/2 + (sin t cos t) / 2 + C = ( t + sin t cos t )/ 2 + C

    = [ arcsin(x-1) + (x-1) √(2x-x^2) ] / 2 + C

  • 1 0 年前

    第一題怎麼少了1/2

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