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小流
Lv 5
小流 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

兩題雙重積分問題~(高微)

1 Evaluate

∫(上下界是0到a)∫(上下界是0到b)e^MAX(b^2x^2 , a^2y^2)dydx

where a and b are positive numbers.

2 Evaluate ∫(上下界是0到1)∫(上下界是0到1-x) e^(y-x/x+y)dydx

^是次方的意思 第一題完全看不懂ㄚ= = 第2提是不知道怎麼積

還麻煩大師幫忙解惑 謝謝^^

已更新項目:

第一題的次方是 E的 MAX (b的平方乘上x的平方 逗號 a的平方乘上y的平方) 次方

2 個已更新項目:

我自己的做法是

我第一題分兩種情況去積 一個a>b 一個a

3 個已更新項目:

>b 可是兩個坐到後來帶上下界分母都會變0以至於我做不下去囧

4 個已更新項目:

第二題則是不論用極坐標或是直接機都是寫完第一步之後我就看謀了啊0.0

麻煩各位幫我解答一下>

4 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    第一題 = 二重積分[over R] of {e^MAX(b^2x^2 , a^2y^2)} dA, where R=[0,a] by[0,b], the rectangle with vertices (0,0), (a,0), (0, b) and (a,b), by Fubini's Theorem. The function serving as the integrand assumes two different values on R: on region (I), for y a^2y^2 there; on region (II), for y>bx/a ---the upper half of the R, which lies above the dioganal y=bx/a, e^MAX(b^2x^2 , a^2y^2) = e^(a^2y^2), since b^2x^2 < a^2y^2 there. Therefore 第一題 = 二重積分[over (I)] of {e^(b^2x^2)} dA + 二重積分[over (II)] of {e^(a^2y^2)} dA. Both 二重積分 over(I) and (II) can be converted into iterated integrals :

    第一題 = ∫(上

    下界是x從0到a)∫(上

    下界是y從0到bx/a){e^(b^2x^2)}dydx +∫(上

    下界是y從0到b)∫(上

    下界是x從0到ay/b){e^(a^2y^2)}dxdy . 剩下的留給你去完成.

    第二題 = 二重積分[over D] of {e^(y-x/x+y)} dA , where D is the triangle with vertices (0,0), (1,0), and (0,1). 三角形區域原本是很好操作的,但integrand here is hard to compute its antiderivative. So I suggest the change of variables: Let u=x+y, v=x-y [x=1/2(u+v), y=1/2(u-v)]. Under this choice( by no means this is the only choice), e^(y-x/x+y)=e^(-v/u); dA=dxdy=|J|dudv=(1/2)dudv,by calculating the transformation Jacobian; the transformed region is the a triangle with vertices (0,0), (1,1), and (1,-1).call it S.----I leave to you to verify them. Thus we get

    第二題 = (1/2)*二重積分[over S] of {e^(-v/u)} dvdu = (1/2)*∫(上

    下界是u從0到1)∫(上

    下界是v從-u到u){e^(-v/u)dvdu = (1/2)*∫(上

    下界是u從0到1){-u*e^(-v/u)}|v=-u to u}du =(1/4)[e^1-e^(-1)].

  • 小流
    Lv 5
    1 0 年前

    請問你是指第2題嗎?? 所以是要用X=rcos Y=rsin 的這種嗎??

  • 1 0 年前

    可以用Jacobian變換積分變數

  • 匿名使用者
    7 年前

    到下面的網址看看吧

    ▶▶http://*****/

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