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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

高等微積分證明題 convergent

題目:

Show that the series Σ(0~∞) (-1)^n (n+1)^(-1/2) is conditionally convergent and that the Cauchy product of this series with itself diverges.

(Hint: The maximum of the function f(x)=(x+1)(j-x+1) occurs at x = 1/2 j, and hence (n+1)(j-n+1) ≤ (1/2 j+1)^2 for n = 0, 1, …, j .)

2 個解答

評分
  • 芭樂
    Lv 4
    1 0 年前
    最佳解答

    我英文不好所以用中文回答

    若數列An滿足:

    1.存在自然數N,若n>=N,則An>=A(n+1)>0

    2.An收斂於0

    則級數Σ(0~∞) (-1)^(n+1)(An)收斂

    數列(n+1)^(-1/2)滿足上述性質故級數Σ(0~∞) (-1)^n (n+1)^(-1/2)收斂

    但級數Σ(0~∞) |(-1)^n (n+1)^(-1/2)|=Σ(0~∞) (n+1)^(-1/2)發散

    故級數Σ(0~∞) (-1)^n (n+1)^(-1/2)條件收斂 (conditionally convergent)

    Cauchy product of this series with itself為級數(-1)^n Σ(0~n) [(n+1)(j-n+1)]^(-1/2)

    因為(n+1)(j-n+1) ≤ (1/2 j+1)^2

    所以|(-1)^n Σ(0~n) [(n+1)(j-n+1)]^(-1/2)|>=Σ(0~n)2/(n+2),Σ(0~n)2/(n+2)發散

    故(-1)^n Σ(0~n) [(n+1)(j-n+1)]^(-1/2)發散(diverge)

  • 1 0 年前

    寬 我找到你了

    但是你沒公開檔案...

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