Yu-Chen Lin 發問時間: 教育與參考考試 · 1 0 年前

數學計算題!! 極值!

a,b,c>0,a+b+c=abc ,求 √(1+1/a^2)+√(1+1/b^2)+√(1+1/c^2) 之最小值?

我老師說 , 極值 不一定 要在 "a=b=c" 時才成立!!

如果用 算幾不等式

我約到最後 √(1+1/a^2)+√(1+1/b^2)+√(1+1/c^2) /3>=立方根{(ab+bc+ac+1)/abc}

這樣算對嗎?

已更新項目:

那還有別的算法嗎?!

用三角函數我有聽過

2 個解答

評分
  • 芭樂
    Lv 4
    1 0 年前
    最佳解答

    因為a,b,c>0,a+b+c=abc ,

    故可假設a=tanA,b=tanB,c=tanC,

    其中π/2>A,B,C>0,A+B+C=π

    √(1+1/a^2)+√(1+1/b^2)+√(1+1/c^2)=|cscA|+|cscB|+|cscC|,

    因為π/2>A,B,C>0,所以|cscA|+|cscB|+|cscC|=cscA+cscB+cscC

    sinA+sinB+sinC+sin[(A+B+C)/3]=

    2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+2sin[(A+B+4C)/6]cos[(A+B-2C)/6]=<

    2sin[(A+B)/2]+2sin[(A+B+4C)/6]=4sin[(A+B+C)/3]cos[(A+B-2C)/6]=<

    4sin[(A+B+C)/3]=2√3

    所以sinA+sinB+sinC=<3√3/2,等號成立時,A=B=C=π/3

    根據科西不等式

    9=(1+1+1)^2=<(cscA+cscB+cscC)(sinA+sinB+sinC)=<(cscA+cscB+cscC)3√3/2

    6/√3=<cscA+cscB+cscC=√(1+1/a^2)+√(1+1/b^2)+√(1+1/c^2)

  • 1 0 年前

    不對!

    最小值應該是6/√3

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