八拉 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

微積分黎曼和lim Σ ((n^2-k^2)^1/2 )/2

如何證明

n

lim  Σ ( (n^2-k^2)^1/2 ) /2

n->∞ k=0

已更新項目:

n

lim   Σ ( (n^2-k^2)^1/2 ) /2 = π/4

n->∞ k=0

1 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    lim [k=0~n]Σ((n^2-k^2)^1/2 )/n^2 =π/4

    n->∞

    ((n^2-k^2)^1/2 )/n^2 =(1/n)√[1-(k/n)^2]

    [k=0~n]Σ(1/n)√[1-(k/n)^2]= (1/n){[√[1-(0/n)^2]+ [√[1-(1/n)^2]+…. +[√[1-(1/n)^2]}

    =>

    原式=(x=0~1)∫√(1-x^2)dx= π /4(為半徑為1之1/4圓 )

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