紅髮傑克 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

微積分嚴格遞減請各位大大幫忙

試證明:若f在某區間(a,b)內任何x點上皆有f '(x)>0,則f 在區間(a,b)上嚴格遞增,請類推出嚴格遞減的條件

4 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    證明:

    Let x in (a,b) be given.

    Since f'(x)>0, there is a D>0 such that

    |[f(y)-f(x)]/(y-x)-f'(x)|<f'(x)/2 whenever 0<y-x<D, which implies that

    If 0<y-x<D, then 0<[f'(x)/2]*(y-x)<f(y)-f(x)<[3f'(x)/2]*(y-x).

    That is, f(y)<f(x) if y<x.

    Since x is arbitrary, f is strictly increasing on (a,b).

    --

    類推:

    If f'(x)<0 for all x in (a,b), then f is strictly decreasing on (a,b).

    2010-07-27 10:33:01 補充:

    回 linch:

    我比較喜歡從定義下手~

    個人偏好^^

    參考資料: me
  • linch
    Lv 7
    1 0 年前

    用均值定理不就好了嗎?

    if x < y

    ==> y - x > 0

    by the mean value theorem

    [ f(y) - f(x) ] / (y - x) = f '(c) for some c in (x, y)

    ==> f(y) - f(x) = f '(c)(y - x) > 0 ( since f '(c) > 0 and y - x > 0 )

  • Yee
    Lv 6
    1 0 年前

    這是充分條件,不是充要條件。

  • 1 0 年前

    有點不懂要求什麼?]

    一階導數<0 在這個區間不就嚴格遞減了嗎?

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