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表哥 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

高中數學證明題一題

若 x^2+y^3>=x^3+y^4 x,y正實數

求證 x^3+y^3<=2

1 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    依x,y與1之大小,可分為以下4種case:

    1. 若x>1, y>1, 則x^2<x^3, y^3<y^4

    不可能 x^2+y^3<= x^3+y^4

    2. 若x<=1, y<=1, 則x^3+y^3 <=2成立

    3. 若x>=1, y<=1, 則

    x-1 <= x(x-1) <= x^2(x-1) <=(已知) y^3(1-y) <= y^2(1-y) <= y(1-y)<=1-y

    由以上不等式知:

    (1) x-1<= 1-y, 則 2 >= x+y

    (2) x(x-1) <= y(1-y), 則x+y >= x^2+y^2

    (3) x^2(x-1) <= y^2(1-y), 則 x^2+y^2 >= x^3+y^3

    合併(1),(2),(3)得 2>= x+y >= x^2+y^2 >= x^3+y^3 , 故 x^3+y^3 <=2

    4. 若x <= 1, y >= 1 則

    y-1 <= y(y-1) <= y^2(y-1) <= y^3(y-1) <=(已知) x^2(1-x) <= x(1-x) <= 1-x

    由以上不等式知

    (4) y-1 <= 1-x, 則 2>= x+y

    (5) y(y-1) <= x(1-x), 則 x+y >= x^2+y^2

    (6) y^2(y-1) <= x^2(1-x), 則 x^2+y^2 >= x^3+y^3

    由(4)~(6)知: 2>= x^3+y^3

    故得證

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