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1 個解答
- mathmanliuLv 71 0 年前最佳解答
依x,y與1之大小,可分為以下4種case:
1. 若x>1, y>1, 則x^2<x^3, y^3<y^4
不可能 x^2+y^3<= x^3+y^4
2. 若x<=1, y<=1, 則x^3+y^3 <=2成立
3. 若x>=1, y<=1, 則
x-1 <= x(x-1) <= x^2(x-1) <=(已知) y^3(1-y) <= y^2(1-y) <= y(1-y)<=1-y
由以上不等式知:
(1) x-1<= 1-y, 則 2 >= x+y
(2) x(x-1) <= y(1-y), 則x+y >= x^2+y^2
(3) x^2(x-1) <= y^2(1-y), 則 x^2+y^2 >= x^3+y^3
合併(1),(2),(3)得 2>= x+y >= x^2+y^2 >= x^3+y^3 , 故 x^3+y^3 <=2
4. 若x <= 1, y >= 1 則
y-1 <= y(y-1) <= y^2(y-1) <= y^3(y-1) <=(已知) x^2(1-x) <= x(1-x) <= 1-x
由以上不等式知
(4) y-1 <= 1-x, 則 2>= x+y
(5) y(y-1) <= x(1-x), 則 x+y >= x^2+y^2
(6) y^2(y-1) <= x^2(1-x), 則 x^2+y^2 >= x^3+y^3
由(4)~(6)知: 2>= x^3+y^3
故得證
