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發問時間: 教育與參考考試 · 1 0 年前

國二數學問題(證明二次方程式兩根是否實根)

1.設a、b、c表△ABC的三邊長,試證:方程式b^2x^2+( b^2+c^2-a^2)x+ c^2=0沒有實根。

2.設a、b、c為異於0的相異實數,試證:(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) =0恆為相異實根。

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    Q1:

    D=(b^2+c^2-a^2)^2 - 4(bc)^2

    =(b^2+c^2-a^2+2bc)(b^2+c^2-a^2 - 2bc)

    =[(b+c)^2-a^2]*[(b-c)^2-a^2]

    =(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)

    <0 (因 b-c-a<0, 其餘3項>0)

    故原方程式沒有實根

    Q2:

    展開得 3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)=0

    判別式D=4(a+b+c)^2-12(ab+bc+ca)

    =4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

    =2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]

    a, b, c相異, 則D>0

    故原方程式恆為相異實根

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