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匿名使用者 發問時間: 教育與參考考試 · 1 0 年前

科西不等式的詳細解說還有應用延伸

高2教的科西 老師都只有帶過

就只會較我們背公式 都看不太懂

老師說 高2只有教 向量的科西 可是老師也只是 帶過

完全沒有交代清楚 雖然考試 是沒什麼在考

可是考出來還是不太會 只會照著步驟解

根本搞的跟背書一樣

請問

科西不等式的詳細解說還有應用延伸

已更新項目:

延伸 你講的跟課本的一樣少 也是一樣沒深入

要是我要這種答案 我自己也能查的到

1 個解答

評分
  • 響古
    Lv 7
    1 0 年前
    最佳解答

    科西不等式 |u.v| ≦ |u|.|v| 原理: 基本上, 任意兩向量u, v的內積為

    u.v = |u|*|v|*cos θ因為 | cos θ | ≦ 1所以 |u.v| ≦ |u|.|v| u, v兩向量平行時<=>等號成立

    若假設向量u = (a, b), v = (c,d)則科西不等式成為(a^2+b^2)*(c^2+d^2)≧(a*c+b*d)^2的形式 如:設x,y為實數且 3x+2y=7 試求 3x^2+y^2 的最小值

    sol:

    [(√3x)^2+y^2]*[(√3)^2+2^2]≧[(√3x)*(√3)+y*2]^2即(3x^2+y^2)*(3+4)≧(3x+2y)^2=>(3x^2+y^2)*7≧7^2=>(3x^2+y^2)≧7所以3x^2+y^2的最小值為7柯西不等式是一个非常重要的不等式 ,灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。可在证明不 等式,解三角形相关问题,求函数最值,解方程等问题的方面得到应用。 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据。

    2010-10-02 12:09:42 補充:

    科西的向量證明:(以下符號為向量)

    -|a||b|≤ a·b ≤ |a||b|

    => |a·b|≤ |a||b|

    數學中除了.配方法.算幾不等式.三角函數(疊合).微積分

    還有(科西不等式)<<可算極值>>

    給平方的條件求一次式的結果或者是給平方的條件求平方的結果,都可以考慮應用柯西不等式,一般柯西~給和求和之極值,算幾~以之積or和之一.求另一極值.

    向量是柯西不等式的幾何意義之一,事實上柯西不等式在二次函數上也有其幾何意義存在,用判別式證明就是如此.

    2010-10-02 12:10:05 補充:

    他們的性質都使得幾何跟代數能夠結合,其實有很多不等式的性質能夠以幾何圖形來思考.

    當 0<θ<π/2時 , 該如何求(4/sinθ)+(9/cosθ)的最小值及推廣到如何求a/sin^n(θ) +b/cos^n(θ)

    ( a > 0 , b > 0 , n∈N)的最小值, 甚至更進一步對於 n 為正有理數時, 最小值為[a^(2/(n+2)) +b^(2/(n+2))]^((n+2)/n) ,

    sinθ:cosθ=a^(1/(n+2)) : b^(1/(n+2))

    http://weiye.sg1012.myweb.hinet.net/temp/qq59.pdf

    2010-10-04 07:45:44 補充:

    數學(科西不等式)<<算極值>>之前教的算極值方法有

    1.配方法

    2.算幾不等式

    3.三角函數

    4.科西不等式

    5.微積分

    內積在物理上最大的應用就是做功

    圓或球的題目也用的到

    向量的內積在向量平行時最大

    http://www.cdjh.hc.edu.tw/sc2006/senior/0404/04041...

    2010-10-04 07:46:51 補充:

    求3sinθ+4cosθ的最大值與最小值

    sol:可用科西不等式求

    (3^2+4^2)[(sinθ)^2+(cosθ)^2] >= (3sinθ+4cosθ)^2

    ==>(25)(1) = (3sinθ+4cosθ)^2 (*註: (sinθ)^2+(cosθ)^2=1 )

    ==>5 >= 3sinθ+4cosθ >= -5

    其最大值為5,其最小值為-5

    2010-10-04 08:01:18 補充:

    柯西不等式可以推廣到n維空間,而且不只是我們所認識的2維、3維的實數空間會有內積,連複數空間,或是我們自己所定出來的一個內積空間,都會符合柯西不等式

    一個可內積的空間一定是一個向量空間,但是一個向量空間不一定是內積空間.

    所謂的內積空間(Inner Product Space)就是任何這個空間裡的向量間的內積都會有定義,而且滿足歐基里德內積(<,>=歐基里德內積),而且它滿足以下條件:

                        

    2010-10-04 08:01:47 補充:

                       _____

    (1)對所有的向量u,v在一內積空間, = (上面那條槓叫做"罷",就是共軛的意思)

    (2) = +

    (3)<αu,v>=α ,對所有α為常數

    (4)對所有內積空間裡的向量u, =∥u∥^2≧0;而且 =0若且唯若u=O(若且為若=充要條件)(∥u∥就是u的norm,也就是u向量的長度)

    http://www.gamez.com.tw/thread-345483-1-1.html

    2010-10-04 08:22:14 補充:

    已知 三角形ABC 的三邊長, 點 P 在內部,P 點到三邊的距離分別為a、b、c,求以a.b.c.為邊長之正方形面積和之最小值

    http://www.come2pass.com/wiki/index.php/Image:2009...

    參考資料: 網路, 網路, 網路
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