小土 發問時間: 科學數學 · 9 年前

請幫忙求矩陣的最小多項式

[ s1 1 0 0

0 s1 1 0

0 0 s1 0

0 0 0 s2 ]

[s1 1 0 0

0 s1 1 0

0 0 s1 0

0 0 0 s1]

另外請問 , 什麼是最小多項式? 謝謝.

不好意思必須解釋一下因為排版好像怪怪的 ,

這兩個都是4*4矩陣 ,

只有主對角線上有特徵值.

已更新項目:

請問是怎麼求出來的呢

不好意思完全不懂最小多項式到底是什麼啊

2 個已更新項目:

這裡說

最小多項式和特徵多項式具有相同的零根

是什麼意思?

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qi...

2 個解答

評分
  • linch
    Lv 7
    9 年前
    最佳解答

    1. (x-s1)^3(x-s2)

    2. (x-s1)^3

    第一次寫錯了

    2010-11-22 00:10:11 補充:

    The minimal polynomial p(x) for a matrix A is the monic polynomial of least positive

    degree for which p(A) = O.

    簡單來說就是哪一個最低次的多項式 p(x) 使得 p(A) 為零矩陣。

    我們知道特徵多項式 f(x) 將矩陣 A 代入會得到零矩陣

    所以有以下定理

    A 的最小多項式的零根與特徵多項式的零根相同

    若特徵多項式為

    f(x) = (x-s1)^n1 (x-s2)^n2 ... (x-si)^nk

    則最小多項式必為

    p(x) = (x-s1)^m1 (x-s2)^m2 ... (x-si)^mk

    其中 1 <= mi <= ni

    若A為可對角線化,且特徵多項式為

    f(x) = (x-s1)^n1 (x-s2)^n2 ... (x-si)^nk

    則最小多項式必為

    p(x) = (x-s1)(x-s2)...(x-si)

    以第一題來說特徵多項式是 f(x) = (x - s1)^3(x - s2)

    所以最小多項式可能為

    (x - s1)(x - s2), (x - s1)^2(x - s2) 或 (x - s1)^3(x - s2)

    事實上第一題已經是 Jordan canonical form 其中有兩個 Jordan block

    第一個是 B1

    s1, 1, 0

    0, s1, 1

    0, 0, s1

    第二個是 B2

    s2

    第一個Jordan block

    (B1 - s1I)^3 才會是 O ( I 為單位矩陣)

    因此小多項式是 (x - s1)^3(x - s2)

    第二個Jordan block

    (B2 - s2I) 會是 O

    第二題特徵多項式是 f(x) = (x - s1)^4

    所以最小多項式可能為

    (x - s1), (x - s1)^2, (x - s1)^3 或 (x - s1)^4

    一樣已經是 Jordan canonical form 其中有兩個 Jordan block

    第一個是 B1

    s1, 1, 0

    0, s1, 1

    0, 0, s1

    第二個是 B2

    s1

    第一個Jordan block

    (B1 - s1I)^3 才會是 O

    第二個Jordan block

    (B2 - s1I) 會是 O

    因此小多項式是 (x - s1)^3

    若是不會看Jordan block

    你就一個一個試著把A代入可能的最小多項式吧!

    2010-11-22 00:20:48 補充:

    第一題

    第一個Jordan block

    (B1 - s1I)^3 才會是 O ( I 為單位矩陣)

    因此小多項式是 (x - s1)^3(x - s2)

    第二個Jordan block

    (B2 - s2I) 會是 O

    改為

    第一個Jordan block

    (B1 - s1I)^3 才會是 O ( I 為單位矩陣)

    第二個Jordan block

    (B2 - s2I) 會是 O

    因此小多項式是 (x - s1)^3(x - s2)

    2010-11-22 00:23:32 補充:

    也可以用你另一題的補充發問去算 rank(A-s1) 去找最小多項式的次方

    另外

    因此小多項式是 (x - s1)^3(x - s2)

    因此小多項式是 (x - s1)^3

    少打了"最"

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  • 匿名使用者
    6 年前

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