小土 發問時間: 科學數學 · 9 年前

請幫忙求矩陣的最小多項式 趴兔

[ s1 1 0 0

0 s1 0 0

0 0 s1 0

0 0 0 s1 ]

[s1 0 0 0

0 s1 0 0

0 0 s1 0

0 0 0 s1]

另外請問 , 什麼是最小多項式? 謝謝.

不好意思必須解釋一下因為排版好像怪怪的 ,

這兩個都是4*4矩陣 ,

只有主對角線上有特徵值.

已更新項目:

線性代數中大約關於特徵值,最小多項式的問題

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qi...

我看了這個網站

為何說rank(A-1)=1

(A-5I)(A-I)=0?

1 個解答

評分
  • linch
    Lv 7
    9 年前
    最佳解答

    1. (x-s1)^2

    2. (x-s1)

    2010-11-22 00:19:31 補充:

    The minimal polynomial p(x) for a matrix A is the monic polynomial of least positive

    degree for which p(A) = O.簡單來說就是哪一個最低次的多項式 p(x) 使得 p(A) 為零矩陣。我們知道特徵多項式 f(x) 將矩陣 A 代入會得到零矩陣

    所以有以下定理 A 的最小多項式的零根與特徵多項式的零根相同若特徵多項式為

    f(x) = (x-s1)^n1 (x-s2)^n2 ... (x-si)^nk

    則最小多項式必為

    p(x) = (x-s1)^m1 (x-s2)^m2 ... (x-si)^mk

    其中 1 <= mi <= ni若A為可對角線化,且特徵多項式為

    f(x) = (x-s1)^n1 (x-s2)^n2 ... (x-si)^nk

    則最小多項式必為

    p(x) = (x-s1)(x-s2)...(x-si)

    第一題特徵多項式是 f(x) = (x - s1)^4

    所以最小多項式可能為

    (x - s1), (x - s1)^2, (x - s1)^3 或 (x - s1)^4 事實上第一題已經是 Jordan canonical form 其中有三個 Jordan block

    第一個是 B1

    s1, 1

    0, s1

    第二、三個是 B2,B3

    s1

    第一個Jordan block

    (B1 - s1I)^2 才會是 O ( I 為單位矩陣)

    第二、三個Jordan block

    (B2 - s1I), (B3 - s1I) 會是 O

    因此小多項式是 (x - s1)^2第二題特徵多項式是 f(x) = (x - s1)^4

    因為矩陣已經是對角矩陣

    所以最小多項式為 (x - s1)

    若是不會看Jordan block

    就去算 rank(A-s1I) 看看是多少或是

    一個一個試著把A代入可能的最小多項式吧!

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